Задачка с параметром (на теорему Виета)

[La|Verd]

Что-то наткнулся на задачку с параметром, которую пару лет назад вроде бы и решал, а сейчас вот - ни в какую.

При каких значениях параметра $a$ уравнение
$x^3-12x^2+(2a^2+2a+1)x-a^2-6a-2=0$
имеет только натуральные корни?

Теперь вот даже не знаю, с какой стороны к ней подойти :(

[V.V.]

Сумма трех корней равна $12$.

[Полосин]

$a=4$.

[La|Verd]

Не могли бы Вы подсказать, от чего оттолкнуться?

[sergey1]

От теоремы Виета для кубических многочленов

[Полосин]

Выпишите формулы Виета. Из них, в частности, следует, что $a$ - рациональное. Найдите решения уравнения $a^2+6a+2=b$, где $b$ - натуральное число, равное произведению корней. Ясно, что $1\le b\le64$. С помощью несложного перебора найдите подходящие корни и $a$.

[La|Verd]

Пусть $x_1x_2x_3=b$.
Тогда $a^2+6a+2=b$, то есть $a=-3\pm\sqrt{7+b}$. То, что $1 \leqslant b \leqslant 64$ - понятно.
Но откуда следует, что $a$ - рациональное?
И верно ли я понял, что несложный перебор - это, по сути, перебор 64-х значений $b$?

[paha]

La|Verd в сообщении #323094 писал(а):

И верно ли я понял, что несложный перебор - это, по сути, перебор 64-х значений $b$?

по сути да, но фактически -- перебор точных квадратов от 7 до 71

или я не о том?-))

-- Вс май 23, 2010 18:02:54 --

просто $10a+3$ должно быть неотрицательным целым

[La|Verd]

Оно-то так, но если $a$ - рациональное.

-- Вс май 23, 2010 17:08:22 --

Про $10a+3$ дошло. Спасибо :)