2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задачка с параметром (на теорему Виета)
Сообщение23.05.2010, 14:13 
Что-то наткнулся на задачку с параметром, которую пару лет назад вроде бы и решал, а сейчас вот - ни в какую.

При каких значениях параметра $a$ уравнение
$x^3-12x^2+(2a^2+2a+1)x-a^2-6a-2=0$
имеет только натуральные корни?

Теперь вот даже не знаю, с какой стороны к ней подойти :(

 
 
 
 Re: Задачка с параметром
Сообщение23.05.2010, 14:46 
Сумма трех корней равна $12$.

 
 
 
 Re: Задачка с параметром
Сообщение23.05.2010, 14:56 
$a=4$.

 
 
 
 Re: Задачка с параметром
Сообщение23.05.2010, 14:58 
Не могли бы Вы подсказать, от чего оттолкнуться?

 
 
 
 Re: Задачка с параметром
Сообщение23.05.2010, 15:13 
От теоремы Виета для кубических многочленов

 
 
 
 Re: Задачка с параметром
Сообщение23.05.2010, 15:16 
Выпишите формулы Виета. Из них, в частности, следует, что $a$ - рациональное. Найдите решения уравнения $a^2+6a+2=b$, где $b$ - натуральное число, равное произведению корней. Ясно, что $1\le b\le64$. С помощью несложного перебора найдите подходящие корни и $a$.

 
 
 
 Re: Задачка с параметром
Сообщение23.05.2010, 16:54 
Пусть $x_1x_2x_3=b$.
Тогда $a^2+6a+2=b$, то есть $a=-3\pm\sqrt{7+b}$. То, что $1 \leqslant b \leqslant 64$ - понятно.
Но откуда следует, что $a$ - рациональное?
И верно ли я понял, что несложный перебор - это, по сути, перебор 64-х значений $b$?

 
 
 
 Re: Задачка с параметром
Сообщение23.05.2010, 16:58 
Аватара пользователя
La|Verd в сообщении #323094 писал(а):
И верно ли я понял, что несложный перебор - это, по сути, перебор 64-х значений $b$?

по сути да, но фактически -- перебор точных квадратов от 7 до 71

или я не о том?-))

-- Вс май 23, 2010 18:02:54 --

просто $10a+3$ должно быть неотрицательным целым

 
 
 
 Re: Задачка с параметром
Сообщение23.05.2010, 17:03 
Оно-то так, но если $a$ - рациональное.

-- Вс май 23, 2010 17:08:22 --

Про $10a+3$ дошло. Спасибо :)

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group