Арнольд, спектры, голоморфное исчисление

[id]

Увидел задачку в конце книги Арнольда.
Пусть $A$-линейный оператор, для начала в $\mathbb R^n$.

Цитата:

$e^A = e^B = e^{A+B} = \mathbf 1$
Могут ли $A, B$ не коммутировать?

Спектр $\mathbf 1$ состоит из одной единицы, значит, т.к. $\sigma(e^A) = e^{\sigma(A)}$, спектр $A$ состоит из одного $0$. Значит, $A^m = 0, m\leqslant n$ и минимальный многочлен имеет вид $t^k, k\leqslant m$.
С другой стороны, $0 = e^A - 1 = \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac {A^i} {i!}$, значит, необходимо $A=0$. То же самое для $B$. Значит, они коммутируют и равны нулю.

Вопросы:
0) Верно ли?
1) А что без теоремы о голоморфном исчислении делать?
2) А что будет в бесконечномерном случае, где нельзя(вроде как) получить нильпотентность $A,B$?

[RIP]

id в сообщении #323020 писал(а):

т.к. $\sigma(e^A) = e^{\sigma(A)}$, спектр $A$ состоит из одного $0$.

разве из $\mathrm e^{\sigma(A)}=\{1\}$ следует $\sigma(A)=\{0\}$? собственные значения ведь могут и комплексными быть.

(дисклеймер)

саму задачу не думал.

[id]

Так сразу (как минимум) нет, про $2 \pi i$-периодичность надо еще подумать; признаюсь.

Из исходного соотношения следует также, что след обеих матриц (значит, и сумма собственных значений с учетом кратности) равен нулю, может еще отсюда что-нибудь удастся вытащить?

[Padawan]

id в сообщении #323111 писал(а):

Из исходного соотношения следует также, что след обеих матриц (значит, и сумма собственных значений с учетом кратности) равен нулю, может еще отсюда что-нибудь удастся вытащить?

Нет, $A=B=2\pi i \mathbf{1}$

[id]

Оператор вроде как в $\mathbb R^n$ был.

[Padawan]

Прошу прощения. Тогда да, след равен сумме собственных значений, следовательно кратен $2\pi i$, а раз действительный, то равен нулю.

[id]

Но теперь, благодаря Вашему замечанию, появилась еще и задача для $\mathbb C^n$.

Но сначала интересно бы, как дорешать исходную.

[ewert]

Только непонятно зачем. Экспонента от недиагонализуемой матрицы никак не может быть единичной, а для диагонализуемой все тривиально.

[id]

А последнее откуда следует? (если есть критерий про равенство алгебраической и геометрической кратности собственного значения, например)

[RIP]

id
Вы нехороший человек: у меня дел по горло, а вместо этого я сижу и решаю Вашу задачу Арнольда. Вот, взял с потолка первые попавшиеся значения:

$$A=\pi\begin{pmatrix}0&1\\-4&0\end{pmatrix}\qquad B=\pi\begin{pmatrix}1&\frac{11+2\sqrt{26}}2\\2(-11+2\sqrt{26}\,)&-1\end{pmatrix}$$

[id]

RIP
Прошу прощения, отнюдь не рассчитывал на деструктивный эффект!.. Пожалуйста, не читайте дальше.

(Оффтоп)

Эти матрицы не коммутируют, но диагонализируемы (вместе со своей суммой), собственные значения кратны $2 \pi i$. Выходит, ответ на исходную задачу "нет"?
То, что исходный оператор в $\mathbb R^n$, а спектр мнимый, не обязует произность какие-то доп. заклинания?

[RIP]

(Оффтоп)

id в сообщении #323141 писал(а):

Пожалуйста, не читайте дальше.

Самый верный способ заставить человека что-то делать --- попросить его этого не делать.

id в сообщении #323141 писал(а):

Выходит, ответ на исходную задачу "нет"?

Как раз таки "да": перечитайте вопрос.

id в сообщении #323141 писал(а):

То, что исходный оператор в $\mathbb R^n$, а спектр мнимый, не обязует произность какие-то доп. заклинания?

Честно говоря, не очень понял вопрос. Есть конкретные матрицы. Их экспоненты не зависят от того, где они рассматриваются: над $\mathbb R$ или $\mathbb C$.

[Padawan]

RIP
А Вы бы не могли пояснить, как Вы их нашли? Я пытаюсь так: выбрал $A$, чтобы $e^A=1$, дальше $B$ ищу в виде $B=T^{-1}AT$, причём трансформирующую матрицу пытаюсь подобрать так, чтобы собственные значения матрицы $A+B$ были различными кратными $2\pi i$.

[RIP]

Легко. Чтобы ненулевая вещественная матрица $2\times2$ имела единичную экспоненту, необходимо и достаточно, чтобы её харполином имел вид $\lambda^2+4\pi^2n^2$, $n\in\mathbb Z_{>0}$. Соответственно, ищем матрицы в виде $A=\begin{pmatrix}a&b\\-\frac{a^2+4\pi^2k^2}b&-a\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\frac{\alpha^2+4\pi^2l^2}\beta&-\alpha\end{pmatrix}$. Надо добиться, чтобы $-(a+\alpha)^2+(b+\beta)\left(\frac{a^2+4\pi^2k^2}b+\frac{\alpha^2+4\pi^2l^2}\beta\right)=4\pi^2m^2$ (плюс ещё, чтобы матрицы не коммутировали). Видно, что имеем огромный произвол (т.е. даже без конкретных циферок видно, что пример построить можно). Если правильно помню, то я взял $a=0$, $b=\pi$, $k=1$, $\alpha=\pi$, $l=2$, $m=4$.