2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 13:15 
Увидел задачку в конце книги Арнольда.
Пусть $A$-линейный оператор, для начала в $\mathbb R^n$.
Цитата:
$e^A = e^B = e^{A+B} = \mathbf 1$
Могут ли $A, B$ не коммутировать?


Спектр $\mathbf 1$ состоит из одной единицы, значит, т.к. $\sigma(e^A) = e^{\sigma(A)}$, спектр $A$ состоит из одного $0$. Значит, $A^m = 0, m\leqslant n$ и минимальный многочлен имеет вид $t^k, k\leqslant m$.
С другой стороны, $0 = e^A - 1 = \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac {A^i} {i!}$, значит, необходимо $A=0$. То же самое для $B$. Значит, они коммутируют и равны нулю.

Вопросы:
0) Верно ли?
1) А что без теоремы о голоморфном исчислении делать?
2) А что будет в бесконечномерном случае, где нельзя(вроде как) получить нильпотентность $A,B$?

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 16:58 
Аватара пользователя
id в сообщении #323020 писал(а):
т.к. $\sigma(e^A) = e^{\sigma(A)}$, спектр $A$ состоит из одного $0$.
разве из $\mathrm e^{\sigma(A)}=\{1\}$ следует $\sigma(A)=\{0\}$? собственные значения ведь могут и комплексными быть.

(дисклеймер)

саму задачу не думал.

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 17:23 
Так сразу (как минимум) нет, про $2 \pi i$-периодичность надо еще подумать; признаюсь.

Из исходного соотношения следует также, что след обеих матриц (значит, и сумма собственных значений с учетом кратности) равен нулю, может еще отсюда что-нибудь удастся вытащить?

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 17:25 
id в сообщении #323111 писал(а):
Из исходного соотношения следует также, что след обеих матриц (значит, и сумма собственных значений с учетом кратности) равен нулю, может еще отсюда что-нибудь удастся вытащить?

Нет, $A=B=2\pi i \mathbf{1}$

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 17:31 
Оператор вроде как в $\mathbb R^n$ был.

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 17:37 
Прошу прощения. Тогда да, след равен сумме собственных значений, следовательно кратен $2\pi i$, а раз действительный, то равен нулю.

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 17:39 
Но теперь, благодаря Вашему замечанию, появилась еще и задача для $\mathbb C^n$. :-)

Но сначала интересно бы, как дорешать исходную.

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 17:43 
Только непонятно зачем. Экспонента от недиагонализуемой матрицы никак не может быть единичной, а для диагонализуемой все тривиально.

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 17:54 
А последнее откуда следует? (если есть критерий про равенство алгебраической и геометрической кратности собственного значения, например)

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 17:57 
Аватара пользователя
id
Вы нехороший человек: у меня дел по горло, а вместо этого я сижу и решаю Вашу задачу Арнольда. Вот, взял с потолка первые попавшиеся значения:
$$A=\pi\begin{pmatrix}0&1\\-4&0\end{pmatrix}\qquad B=\pi\begin{pmatrix}1&\frac{11+2\sqrt{26}}2\\2(-11+2\sqrt{26}\,)&-1\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 18:31 
RIP
Прошу прощения, отнюдь не рассчитывал на деструктивный эффект!.. Пожалуйста, не читайте дальше.

(Оффтоп)

Эти матрицы не коммутируют, но диагонализируемы (вместе со своей суммой), собственные значения кратны $2 \pi i$. Выходит, ответ на исходную задачу "нет"?
То, что исходный оператор в $\mathbb R^n$, а спектр мнимый, не обязует произность какие-то доп. заклинания?

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 18:45 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

id в сообщении #323141 писал(а):
Пожалуйста, не читайте дальше.
Самый верный способ заставить человека что-то делать --- попросить его этого не делать.

id в сообщении #323141 писал(а):
Выходит, ответ на исходную задачу "нет"?
Как раз таки "да": перечитайте вопрос. :-)

id в сообщении #323141 писал(а):
То, что исходный оператор в $\mathbb R^n$, а спектр мнимый, не обязует произность какие-то доп. заклинания?
Честно говоря, не очень понял вопрос. Есть конкретные матрицы. Их экспоненты не зависят от того, где они рассматриваются: над $\mathbb R$ или $\mathbb C$.

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение23.05.2010, 19:13 
RIP
А Вы бы не могли пояснить, как Вы их нашли? Я пытаюсь так: выбрал $A$, чтобы $e^A=1$, дальше $B$ ищу в виде $B=T^{-1}AT$, причём трансформирующую матрицу пытаюсь подобрать так, чтобы собственные значения матрицы $A+B$ были различными кратными $2\pi i$.

 
 
 
 Re: Арнольд, спектры, голоморфное исчисление
Сообщение24.05.2010, 10:24 
Аватара пользователя
Легко. Изображение Чтобы ненулевая вещественная матрица $2\times2$ имела единичную экспоненту, необходимо и достаточно, чтобы её харполином имел вид $\lambda^2+4\pi^2n^2$, $n\in\mathbb Z_{>0}$. Соответственно, ищем матрицы в виде $A=\begin{pmatrix}a&b\\-\frac{a^2+4\pi^2k^2}b&-a\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\frac{\alpha^2+4\pi^2l^2}\beta&-\alpha\end{pmatrix}$. Надо добиться, чтобы $-(a+\alpha)^2+(b+\beta)\left(\frac{a^2+4\pi^2k^2}b+\frac{\alpha^2+4\pi^2l^2}\beta\right)=4\pi^2m^2$ (плюс ещё, чтобы матрицы не коммутировали). Видно, что имеем огромный произвол (т.е. даже без конкретных циферок видно, что пример построить можно). Если правильно помню, то я взял $a=0$, $b=\pi$, $k=1$, $\alpha=\pi$, $l=2$, $m=4$.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group