эксперименты с простыми числами

[don Bass]

экспериментируя в МатЛабе с простыми числами обнаружил следующее:
если p_n обозначает n-oe простое число, то

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{n!}=\infty

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{(2n)!}=0

Интерeсно, а возможен ли промежуточный результат, то есть существуют ли \alpha\in(1,2),\beta\in (0,\infty) такие, что

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{\Gamma(\alpha n+1)}=\beta

[Xaositect]

Вероятно, можно получить что-нибудь, исходя из асимптотики $p_n\sim n \log n$

[ИСН]

Думаю, выйдет нулём при любом $\alpha>1$

[don Bass]

Цитата:

Вероятно, можно получить что-нибудь, исходя из асимптотики $p_n\sim n \log n$

Да, это вроде объясняет откуда 0 и \infty.

[Руст]

В Mathlinks я доказал, что

$$\lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}=\frac 1e.$$

Так, что при $\alpha >1$ ваш предел получится равным 0, а при $\alpha<1$ бесконечности.
Поэтому возможно уточнение только не множителем, а сдвигом

$$\lim_{n\to \infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}=?.$$

(a не обязательно целое)

[Sonic86]

Руст писал(а):

В Mathlinks я доказал, что

$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n} = \frac 1e$$

Не могли бы Вы дать ссылку? А то у меня что-то не то получилось:

Конкретная математика (9.48) писал(а):

$p_n=n\ln n + n \ln \ln n - n +o(n)$

То есть $p_n = n \ln n \left( 1 + O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)$. И тогда

$$a_n = \frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n} =\exp \left(\frac 1n\sum\limits_{k=1}^n \ln p_k\right) = \exp \left(\frac 1n\sum\limits_{k=1}^n \left(\ln k + \ln \ln k + O\left(\frac{\ln \ln k}{\ln k}\right)\right)\right)$$

$$=\exp \left(\frac 1n \left(n \ln n - n + O\left(\ln n \right) + n \ln \ln n + O\left(\frac{n}{\ln n}\right)\right) + O\left(\frac{n \ln \ln n}{\ln n}\right)\right)$$

$$ = \exp \left(\ln n - 1 + \ln \ln n + O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)=\frac{n \ln n\left(1+O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)}{e}$$

и после этого у меня выходит скорость последовательности $a_n \sim \frac{\ln n}{e} \to + \infty$. У меня ошибка где-то?

[Руст]

Цитата:

Не могли бы Вы дать ссылку? А то у меня что-то не то получилось:

Надо оценить

$$\frac{p_1....p_n}{(n+a)!}=exp(\sum_k \ln p_k) -(n+a)\ln (n+a) +(n+a) -0.5\ln (2\pi (n+a)) +O(\frac 1n))=exp(p_n +R(p_n)-(n+a)\ln (n+a)+(n+a)-0.5\ln(2\pi (n+a))+O(\frac 1n)).$$

$R(p_n)=0(n)$, согласно гипотезе Римана $R(p_n)=o(\sqrt n \ln^2n)$.
Согласно приведенной оценкеЖ

Конкретная математика (9.48) писал(а):

$p_n=n\ln n + n \ln \ln n - n +o(n)$

при любом конечном а получаем бесконечный предел, а при $Г(\alpha n),\alpha>1$ ноль.

[Sonic86]

Че-то я не понял
Вы хотите сказать, что

$$\sum\limits_{1 \leq k \leq n} \ln p_k = p_n + R(p_n)=p_n + o(n)$$

Действительно! Прикольно...
Так мне же надо не $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}$, а $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}$. Разве из предела с $(n+a)!$ что-то следует для предела с $\sqrt[n]{}$? Не могу понять...

[Руст]

Sonic86 в сообщении #322247 писал(а):

Че-то я не понял
Вы хотите сказать, что

$$\sum\limits_{1 \leq k \leq n} \ln p_k = p_n + R(p_n)=p_n + o(n)$$

Действительно! Прикольно...
Так мне же надо не $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}$, а $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}$. Разве из предела с $(n+a)!$ что-то следует для предела с $\sqrt[n]{}$? Не могу понять...

Смотрите исходную постановку.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Excel писал(а):

$a_{9592} = 3,3881$

[RIP]

Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

[Руст]

RIP в сообщении #322510 писал(а):

Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду

$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$

[RIP]

Руст в сообщении #322515 писал(а):

RIP в сообщении #322510 писал(а):

Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду

$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$

Это не одно и то же.

$$\sqrt[n]{\frac{p_1\ldots p_n}{n!}}\sim\log n.$$

[Руст]

RIP в сообщении #322519 писал(а):

Руст в сообщении #322515 писал(а):

RIP в сообщении #322510 писал(а):

Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду

$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$

Это не одно и то же.

$$\sqrt[n]{\frac{p_1\ldots p_n}{n!}}\sim\log n.$$

Точнее [math]$$p_1...p_n=exp(\Phi (p_n))=exp(p_n+R(p_n))$$

$$n!=exp(n\ln n -n+O(\ln n)),\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=exp(\frac{p_n}{n}-\ln n+1+O(\frac{\ln n}{n}))=\ln n$$

вы правы. Для поправочного сдвига $a=\ln ln n (1+o(1))\to \infty$.

[Sonic86]

О! Руст, RIP теперь все понятно, спасибо!