2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 эксперименты с простыми числами
Сообщение25.10.2008, 19:30 


22/01/08
21
экспериментируя в МатЛабе с простыми числами обнаружил следующее:
если p_n обозначает n-oe простое число, то

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{n!}=\infty

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{(2n)!}=0

Интерeсно, а возможен ли промежуточный результат, то есть существуют ли \alpha\in(1,2),\beta\in (0,\infty) такие, что

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{\Gamma(\alpha n+1)}=\beta

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2008, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Вероятно, можно получить что-нибудь, исходя из асимптотики $p_n\sim n \log n$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2008, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Думаю, выйдет нулём при любом $\alpha>1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2008, 22:06 


22/01/08
21
Цитата:
Вероятно, можно получить что-нибудь, исходя из асимптотики $p_n\sim n \log n$


Да, это вроде объясняет откуда 0 и \infty.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.10.2008, 13:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
В Mathlinks я доказал, что $$\lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}=\frac 1e.$$
Так, что при $\alpha >1$ ваш предел получится равным 0, а при $\alpha<1$ бесконечности.
Поэтому возможно уточнение только не множителем, а сдвигом $$\lim_{n\to \infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}=?.$$ (a не обязательно целое)

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 07:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
Руст писал(а):
В Mathlinks я доказал, что $$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n} = \frac 1e$$

Не могли бы Вы дать ссылку? А то у меня что-то не то получилось:
Конкретная математика (9.48) писал(а):
$p_n=n\ln n + n \ln \ln n - n +o(n)$

То есть $p_n = n \ln n \left( 1 + O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)$. И тогда
$$a_n = \frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n} =\exp \left(\frac 1n\sum\limits_{k=1}^n \ln p_k\right) = \exp \left(\frac 1n\sum\limits_{k=1}^n \left(\ln k + \ln \ln k + O\left(\frac{\ln \ln k}{\ln k}\right)\right)\right)$$
$$=\exp \left(\frac 1n \left(n \ln n - n + O\left(\ln n \right) + n \ln \ln n + O\left(\frac{n}{\ln n}\right)\right) + O\left(\frac{n \ln \ln n}{\ln n}\right)\right)$$$$ = \exp \left(\ln n - 1 + \ln \ln n + O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)=\frac{n \ln n\left(1+O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)}{e}$$
и после этого у меня выходит скорость последовательности $a_n \sim \frac{\ln n}{e} \to + \infty$. У меня ошибка где-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 08:45 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Цитата:
Не могли бы Вы дать ссылку? А то у меня что-то не то получилось:

Надо оценить
$$\frac{p_1....p_n}{(n+a)!}=exp(\sum_k \ln p_k) -(n+a)\ln (n+a) +(n+a) -0.5\ln (2\pi (n+a)) +O(\frac 1n))=exp(p_n +R(p_n)-(n+a)\ln (n+a)+(n+a)-0.5\ln(2\pi (n+a))+O(\frac 1n)).$$
$R(p_n)=0(n)$, согласно гипотезе Римана $R(p_n)=o(\sqrt n \ln^2n)$.
Согласно приведенной оценкеЖ

Конкретная математика (9.48) писал(а):
$p_n=n\ln n + n \ln \ln n - n +o(n)$

при любом конечном а получаем бесконечный предел, а при $Г(\alpha n),\alpha>1$ ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 09:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
Че-то я не понял :-(
Вы хотите сказать, что
$$\sum\limits_{1 \leq k \leq n} \ln p_k = p_n + R(p_n)=p_n + o(n)$$
Действительно! Прикольно...
Так мне же надо не $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}$, а $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}$. Разве из предела с $(n+a)!$ что-то следует для предела с $\sqrt[n]{}$? Не могу понять... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 10:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Sonic86 в сообщении #322247 писал(а):
Че-то я не понял :-(
Вы хотите сказать, что
$$\sum\limits_{1 \leq k \leq n} \ln p_k = p_n + R(p_n)=p_n + o(n)$$
Действительно! Прикольно...
Так мне же надо не $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}$, а $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}$. Разве из предела с $(n+a)!$ что-то следует для предела с $\sqrt[n]{}$? Не могу понять... :oops:

Смотрите исходную постановку.

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 11:47 
Заслуженный участник


08/04/08
8560

(Оффтоп)

Excel писал(а):
$a_{9592} = 3,3881$

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 19:22 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
RIP в сообщении #322510 писал(а):
Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду
$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
Руст в сообщении #322515 писал(а):
RIP в сообщении #322510 писал(а):
Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду
$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$
Это не одно и то же.
$$\sqrt[n]{\frac{p_1\ldots p_n}{n!}}\sim\log n.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 20:15 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
RIP в сообщении #322519 писал(а):
Руст в сообщении #322515 писал(а):
RIP в сообщении #322510 писал(а):
Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду
$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$
Это не одно и то же.
$$\sqrt[n]{\frac{p_1\ldots p_n}{n!}}\sim\log n.$$

Точнее [math]$$p_1...p_n=exp(\Phi (p_n))=exp(p_n+R(p_n))$$
$$n!=exp(n\ln n -n+O(\ln n)),\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=exp(\frac{p_n}{n}-\ln n+1+O(\frac{\ln n}{n}))=\ln n$$
вы правы. Для поправочного сдвига $a=\ln ln n (1+o(1))\to \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение24.05.2010, 08:01 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
О! Руст, RIP теперь все понятно, спасибо! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group