гипотеза Римана

[Бодигрим]

age в сообщении #310697 писал(а):

Дзета-функция Эйлера дает значения суммы ряда для различных точек $k$:
$\zeta(k)=\sum\limits_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n^k}}$
Есть формула суммы такого ряда.

Вы утверждаете, что существует замкнутая (не включающая в себя бесконечные суммы, произведения, интегралы и т. п.) формула для дзета-функции (хотя бы и с суженной до $\mathbb{Z}$ областью определения)? Если да, то это неправда.

age в сообщении #310697 писал(а):

Причем для положительных точек формула одна, для отрицательных - другая. Соотношение этих двух формул и есть функциональное соотношение дзета-функции.

Это тоже неправда. Положительность/отрицательность здесь ни при чем. Т. н. "функциональное уравнение" для дзета-функции связывает значения не $\zeta(s)$ и $\zeta(-s)$, а $\zeta(s)$ и $\zeta(1-s)$. Дело в том, что для значений аргумента с $\Re s >1$ приведенный вами как определение дзета-функции ряд сходится, а на прочей части комплексной плоскости ряд уже расходится и дзета-функцию полагают равной ее аналитическому продолжению.

age в сообщении #310697 писал(а):

Они же зануляют и дзета-функцию в нечетных точках. Т.е. $\zeta(2k+1)=0$

С точностью до наоборот: $\zeta(2k+1)\ne0$ для всех целых $k$. Тривиальными нулями дзета-функции являются отрицательные четные числа. То, что $\zeta(-2k)=0$ при $k>0$ нагляднее всего, наверное, выводится из свойств гамма-функции и функционального уравнения

$$ \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\zeta(s)=\Gamma((1-s)/2)\pi^{-(1-s)/2}\zeta(1-s) $$

age в сообщении #310697 писал(а):

$\pi(x)-\dfrac{x}{\ln(x)}=-\sum\limits_{\rho}{\dfrac{x^{\rho}}{\rho}}$
где $\rho$ - вещественная часть нетривиальных нули дзета-функции Римана.

Слово "вещественная" здесь скорее всего лишнее - в стандартных обозначениях теории чисел ваша запись означает, что суммирование ведется по всем нетривиальным нулям $\rho$ без отбрасывания комплексной части. В противном случае выражение наверняка ошибочно. Можно, кстати, узнать источник этой формулы? Я не уверен в ее справедливости вообще.