2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: гипотеза Римана
Сообщение21.05.2010, 00:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
age в сообщении #310697 писал(а):
Дзета-функция Эйлера дает значения суммы ряда для различных точек $k$:
$\zeta(k)=\sum\limits_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n^k}}$
Есть формула суммы такого ряда.

Вы утверждаете, что существует замкнутая (не включающая в себя бесконечные суммы, произведения, интегралы и т. п.) формула для дзета-функции (хотя бы и с суженной до $\mathbb{Z}$ областью определения)? Если да, то это неправда.
age в сообщении #310697 писал(а):
Причем для положительных точек формула одна, для отрицательных - другая. Соотношение этих двух формул и есть функциональное соотношение дзета-функции.

Это тоже неправда. Положительность/отрицательность здесь ни при чем. Т. н. "функциональное уравнение" для дзета-функции связывает значения не $\zeta(s)$ и $\zeta(-s)$, а $\zeta(s)$ и $\zeta(1-s)$. Дело в том, что для значений аргумента с $\Re s >1$ приведенный вами как определение дзета-функции ряд сходится, а на прочей части комплексной плоскости ряд уже расходится и дзета-функцию полагают равной ее аналитическому продолжению.
age в сообщении #310697 писал(а):
Они же зануляют и дзета-функцию в нечетных точках. Т.е. $\zeta(2k+1)=0$

С точностью до наоборот: $\zeta(2k+1)\ne0$ для всех целых $k$. Тривиальными нулями дзета-функции являются отрицательные четные числа. То, что $\zeta(-2k)=0$ при $k>0$ нагляднее всего, наверное, выводится из свойств гамма-функции и функционального уравнения $$ \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\zeta(s)=\Gamma((1-s)/2)\pi^{-(1-s)/2}\zeta(1-s) $$
age в сообщении #310697 писал(а):
$\pi(x)-\dfrac{x}{\ln(x)}=-\sum\limits_{\rho}{\dfrac{x^{\rho}}{\rho}}$
где $\rho$ - вещественная часть нетривиальных нули дзета-функции Римана.

Слово "вещественная" здесь скорее всего лишнее - в стандартных обозначениях теории чисел ваша запись означает, что суммирование ведется по всем нетривиальным нулям $\rho$ без отбрасывания комплексной части. В противном случае выражение наверняка ошибочно. Можно, кстати, узнать источник этой формулы? Я не уверен в ее справедливости вообще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group