Дзета-функция Эйлера дает значения суммы ряда для различных точек

:

Есть формула суммы такого ряда.
Вы утверждаете, что существует замкнутая (не включающая в себя бесконечные суммы, произведения, интегралы и т. п.) формула для дзета-функции (хотя бы и с суженной до

областью определения)? Если да, то это неправда.
Причем для положительных точек формула одна, для отрицательных - другая. Соотношение этих двух формул и есть функциональное соотношение дзета-функции.
Это тоже неправда. Положительность/отрицательность здесь ни при чем. Т. н. "функциональное уравнение" для дзета-функции связывает значения не

и

, а

и

. Дело в том, что для значений аргумента с

приведенный вами как определение дзета-функции ряд сходится, а на прочей части комплексной плоскости ряд уже расходится и дзета-функцию полагают равной ее аналитическому продолжению.
Они же зануляют и дзета-функцию в нечетных точках. Т.е.

С точностью до наоборот:

для всех целых

. Тривиальными нулями дзета-функции являются отрицательные четные числа. То, что

при

нагляднее всего, наверное, выводится из свойств гамма-функции и функционального уравнения


где

- вещественная часть нетривиальных нули дзета-функции Римана.
Слово "вещественная" здесь скорее всего лишнее - в стандартных обозначениях теории чисел ваша запись означает, что суммирование ведется по всем нетривиальным нулям

без отбрасывания комплексной части. В противном случае выражение наверняка ошибочно. Можно, кстати, узнать источник этой формулы? Я не уверен в ее справедливости вообще.