Интеграл и предел

[Gortaur]

Предлагаю такую задачу.
Есть

$$\mathcal{F}=\{f\in C^1(\mathbb{R})|f>0,f'<0,\int\limits_{1}^\infty f(x)\,dx < \infty\}$$

и

$$\mathcal{G}=\{g\in C^1(\mathbb{R})|g>0,g'<0,\int\limits_{1}^\infty g(x)\,dx = \infty\} .$$

Верно ли, что $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ для любых $f\in\mathcal{F}$ и $g\in\mathcal{G}$?

[meduza]

Не вижу разницы между $\mathcal F$ и $\mathcal G$. Если так и задумано, что вряд ли, то, например, $f(x)=g(x)=e^{-x}$.

[Gortaur]

Прошу прощения, поправил в сабже. Интегралы в $\mathcal{G}$ расходятся.

[lel0lel]

Неверно, у функции $g(x)$ сингулярность может быть в точке $x=1$.

[Gortaur]

хм... а она будет тогда непрерывно дифференцируема на всей числовой прямой? Можно пример?

[lel0lel]

Gortaur в сообщении #321127 писал(а):

хм... а она будет тогда непрерывно дифференцируема на всей числовой прямой?

Извиняюсь, поспешил. Что если такие функции $f(x)={1\over x}$ и $g(x)={1\over (x+1)^2}$. Для $x<1$ их можно продолжить, так чтобы была непрерывной производная.

[Gortaur]

Ок, пусть они будут $C^1$ на $(0,\infty)$

[lel0lel]

Опять не то. Нужно подумать. Пока не выходит.

[meduza]

lel0lel в сообщении #321128 писал(а):

Gortaur в сообщении #321127 писал(а):

хм... а она будет тогда непрерывно дифференцируема на всей числовой прямой?

Что если такие функции $f(x)={1\over x^2}$ и $g(x)=1+{1\over x^2}$. Для $x<1$ их можно продолжить, так чтобы была непрерывной производная.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{1/x^2}{1+1/x^2}=0$

[Gortaur]

Логика проста: функции положительны и монотонно убывают. Если интеграл сходится, то функция "меньше", чем та, у которой он расходится. Только как доказать?

[mihiv]

Если предел существует,то он равен 0.Предположим $\lim\limits_{x\to \infty }=C>0$,тогда для $x$ больших некоторого $x_0,f(x)>C_1g(x),C>C_1>0.$И $\int \limits _{x_0}^{\infty }f(x)dx>C_1\int \limits _{x_0}^{\infty }g(x)dx=\infty .$

[meduza]

Пока набирал, mihiv опередил...

(Но стирать не стал)

Gortaur в сообщении #321140 писал(а):

Логика проста: функции положительны и монотонно убывают. Если интеграл сходится, то функция "меньше", чем та, у которой он расходится. Только как доказать?

Если $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\mathrm{const}\neq 0$, то $f$ и $g$ одного порядка при $x\to \infty$ (т. е. $f=O(g)$ и $g=O(f)$), а значит (есть такая теоремка), что те интегралы одновременно сходятся/расходятся. Значит $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$, что тоже невозможно (в пределе должно быть $f(x)>g(x)>0$, $f(x)$ по условию сходится, а значит и $g(x)$ должен, а по условию это не так).

[Gortaur]

Хорошо, осталось только лишь доказать, что он существует всегда :) (с чем я бился гораздо дольше, и не уверен, что добился)

[meduza]

А что тут доказывать? Функции $f$, $g$ убывают и ограничены снизу, значит (по известной теореме -- критерий существования предела монотонной функции) имеют конечные пределы. А их отношение $\frac{f(x)}{g(x)}\to 0$ потому, что выше мы отмели все остальные варианты.

[Gortaur]

Однако, это не значит, что их отношение имеет предел. Потому как: если отношение имеет предел, то он равен пределу отношений. Они-то конечно убывают, но сначала может одна сильнее убывать, потом другая и т.д.