Определяем комплексные числа

[Профессор Снэйп]

Дано: множество комплексных чисел $\mathbb{C}$, операции $+$, $\cdot$ и $\exp(z) = e^z$.

Этими средствами определяем комплексные числа. Например:

1) Число $0$ --- это такое $z$, что $z + x = x$ для всех $x \in \mathbb{C}$.

2) Число $1$ --- это такое $z$, что $z \cdot x = x$ для всех $x \in \mathbb{C}$.

3) Число $2$ --- это $1 + 1$; число $1/2$ --- это такое $z$, что $z+z = 1$.

И так далее... Задание следующее:

a) Определить число $\pi$.
b) Доказать, что нельзя определить число $i$.

-- Вс май 16, 2010 20:06:34 --

P. S. Уточнение.

Для знатоков матлогики могу дать точную формулировку: определить число --- значит, написать формулу $\Phi(z)$ языка первого порядка сигнатуры $\langle +, \cdot, \exp \rangle$, такую что $\mathbb{C} \models \Phi(z)$ тогда и только тогда, когда $z$ равно этому числу.

Для тех, кто не понимает, что означает предыдущий абзац, скажу следующее. Пользоваться можно лишь тем, что дано. В частности, натуральный ряд не дан и, следовательно, определения по индукции некорректны. Например, множество натуральных чисел как множество конечных сумм, все слагаемые которых равны $1$ --- недопустимое определение (определить данными средствами множество $\mathbb{N}$ на самом деле можно, но это надо делать хитро). А вот множество $A = \{ 2\pi ki : k \in \mathbb{Z} \}$ определить можно, поскольку $z \in A$ равносильно $\exp(z) = 1$.

P. P. S. Задачу слямзил на конференции. Практически, переформулировал отдельные тезисы прозвучавшего доклада

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #320115 писал(а):

И так далее... Задание следующее:

a) Определить число $\pi$.
b) Доказать, что нельзя определить число $i$.

А как далее-то? Как вообще можно ставить вопрос об определении мнимой единицы, если пока что для неё нет даже зародыша?...

[Padawan]

Если формуле удовлетворяет $z=i$, то будет удовлетворять и $z=-i$.

[ewert]

Не исключено. Но -- только после того, как будет хоть что-то вообще сказано про то, что такое $i$.

[Padawan]

ewert
Так... Мы-то это знаем. Просто нам разрешается это сказать, пользуясь очень ограниченным набором средств. Проф. Снэйп же уточнил.

[ewert]

Padawan в сообщении #320217 писал(а):

Мы-то это знаем. Просто нам разрешается это сказать, пользуясь очень ограниченным набором средств.

Ну вы, наверное, знаете. А я -- нет. По-моему, из $e^z=1$ (надо полагать, имелось в виду именно это) мнимая единица никак без дополнительных оговорок не вытекает. А никаких других следов её присутствия нигде не наблюдается. И, кстати, не сказано даже, что вообще понимается под $e^z$.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #320206 писал(а):

Если формуле удовлетворяет $z=i$, то будет удовлетворять и $z=-i$.

Верно, но вот только почему? Сопряжение $z \mapsto \overline{z}$ экспоненту на месте не оставляет.

Ой, а ваще стоп, чего это я?! Конечно же достаточно рассмотреть сопряжение

-- Вс май 16, 2010 23:29:10 --

ewert, не глупите. Я сомневаюсь, что Вы не способны понять условие

Padawan Вам всё правильно пишет. Все комплексные числа есть, вопрос лишь в том, как их выделить, пользуясь данными нам в распоряжении средствами.

-- Вс май 16, 2010 23:37:15 --

Пример: на $\langle \mathbb{N}, + \rangle$ можно определить единицу, а на $\langle \mathbb{Z}, + \rangle$ нельзя.

На второй вопрос ответ отрицателен, потому что есть автоморфизм абелевой группы $\langle \mathbb{Z}, + \rangle$, переводящий $1$ в $-1$ и любая формула, истинная на $1$, будет также истинна на $-1$. Что касается первого, то имеем (натуральный ряд начинается с нуля):

$$ \begin{array}{rcl} x \leqslant y & \Leftrightarrow & \exists z(y = x + z) \\ x < y & \Leftrightarrow & (x \leqslant y) \mathop{\&} (x \neq y) \\ x = 1 & \Leftrightarrow & \exists y \big((y < x) \mathop{\&} \forall z \big( (z < x) \rightarrow (z = y)\big)\big) \end{array} $$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #320259 писал(а):

правильно пишет. Все комплексные числа есть, вопрос лишь в том, как их выделить,

Решительно не понимаю. Ну тупой я, тупой. Как это они есть, если в перечисленных Вами операциях не было никакого даже намёка на комплексность?...
(я совершенно не разбираюсь в "формулах", но решительно не могу понять, где Вы там заложили комплексную мину)

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #320349 писал(а):

(я совершенно не разбираюсь в "формулах", но решительно не могу понять, где Вы там заложили комплексную мину)

Ну вот представьте себе, что Вы провели урок в школе (замещали заболевшую учительницу) и Вам надо рассказать о своих впечатлениях от урока.

Вы говорите: "Мальчик такой-то замечательно справился с предложенным заданием". И далее надо однозначно идентифицировать мальчика. Если разрешено использовать имена и фамилии, то проблем нет; Вы говорите "Петров" или "Сидоров" или "Иванов" и дело с концом. А теперь представьте, что имена-фамилии запрещены (либо Вы их просто не знаете). Тогда приходится изворачиваться и выдавать что-нибудь вроде: "Мальчик невысокого роста, с рыжими волосами и в очках". Если он там один такой, то Вы прекрасно всё объясните. А если, допустим, в классе учаться близнецы, то может оказаться, что при запрете на имена Вы одного из близнецов идентифицировать никак не сможете

Итак, Вам дан класс, состоящий их учеников, и набор понятий, которыми Вы можете пользоваться при идентификации. Задача состоит в идентификации определённого ученика данными средствами (либо в доказательстве невозможности это сделать).

Тут то же самое. Множество чисел = класс = множество учеников. В нашем случае класс --- это множество $\mathbb{C}$ комплексных чисел. Он нам дан по условию --- вот и весь намёк. Было бы другое множество-школьный класс --- была бы просто другая задача, похожая, но с другим условием. Средства --- операции $+$, $\cdot$ и $\exp$. Они фиксированы, понимаются в стандартном смысле и Вы их можете использовать. Другие объекты использовать при идентификации нельзя --- это "запрещённые фамилии".

Надеюсь, понятнее стало

-- Пн май 17, 2010 04:11:50 --

Посмотрите, как я выделил единицу на натуральных числах, пользуясь только плюсом. Почему именно на натуральных? Потому что натуральные числа фигурировали в условие задачи, которую я разбирал для примера. Если бы разрешено было использовать умножение, я бы написал просто

$$ x = 1 \Leftrightarrow \forall y (x \cdot y = y) $$

и не парился бы, а так пришлось немного поизвращаться

-- Пн май 17, 2010 04:20:58 --

Или вот ещё пример. Циркулем и линейкой нельзя разделить произвольный угол на три части. Но это вовсе не означает, что для некоторого угла $\varphi$ не существует угол $\varphi/3$. Ваши, ewert, недоумения --- примерно того же плана

Считайте, что требуется решить что-то вроде задачи на построение... Строимые объекты наличествуют в природе de facto, нужно лишь достигнуть их данными нам в распоряжение средствами (либо обосновать невозможность такого достижения).