Теория чисел

[Marina]

Maslov СПАСИБО!!!

[Maslov]

Достаточно одного восклицательного знака
Вы лучше объясните, почему Вы согласны с тем, что

Цитата:

$(n^2-5n+3)^2$ дает остаток 1 при делении на 8

[Marina]

При любом целом значении $n$ разность$n^2-5n$, есть число чётное. Суммы чётного числа $n^2-5n$ и нечётного - 3, есть число нечётное. Нечётное число в квадрате при делении на 8 даёт остаток 1.

[Maslov]

Marina в сообщении #319068 писал(а):

Нечётное число в квадрате при делении на 8 даёт остаток 1.

А это доказать можете?

[Marina]

Пусть $n$- целое число. Квадрат чётного числа делится на 8 без остатка $(8n)^2=64n^2=8(8n^2)$, а не чётного $(8n+1)^2=64n^2+16n+1=8n(8n+2)+1$;
$(8n+3)^2=64n^2+48n+9=8(8n^2+6n+1)+1$ даёт остаток 1.

[ewert]

Marina в сообщении #319074 писал(а):

Квадрат чётного числа делится на 8 без остатка

И нифига. Поделите-ка на 8 без остатка число $2^2$. Ну и хотя бы $6^2$.

(какой-то опять праздный разговор, и уж в который раз...)

[Maslov]

Marina в сообщении #319074 писал(а):

Квадрат чётного числа делится на 8 без остатка $(8n)^2=64n^2=8(8n^2)$

Чётное число -- это число вида $2n$, а вовсе не $8n$. И при чём здесь чётные числа, если Вы доказываете для нечётного?
А нечётное -- это $2n+1$.
Поэтому, кроме $8n+1$ и $8n+3$, ещё могут быть случаи $8n+5$ и $8n+7$.

[Marina]

$(2n+1)^2= 4n(n+1)+1$?

(Оффтоп)

какой-то опять праздный разговор, и уж в который раз... ewert! Извините, но я спрашиваю не из праздного любопытства, а просто хочу понять, то чего не знаю?

[Maslov]

Marina в сообщении #319092 писал(а):

$(2n+1)^2= 4n(n+1)+1$?

Ну а теперь спуститесь ещё на одну ступеньку и рассмотрите отдельно случаи чётного и нечётного $n$ (т.е., $n = 2k$ и $n = 2k+1)$.

[Marina]

$(2(2k+1)+1)^2=(4k+3)^2=8(2k^2+3k+1)+1$?

-- Пт май 14, 2010 07:28:59 --

Т.к. $(n^2-5n+3)^2 = 8k + 1 $ (для некоторого $k$), следоваательно $8k=(n^2-5n+3)^2-1=(n^2-5n+2)(n^2-5n+4)$(произведение двух последовательных чётных чисел делится на 8)

[Батороев]

Marina в сообщении #319019 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, после того как исходное выражение: $(n^2-5n+3)^2-9$ разложили на множители: $n(n-2)(n-3)(n-5)$. Можно ли строить доказательство на том, что произведение двух последовательных чётных чисел, а именно - $n(n-2)$делится на 8, следовательно и исходное выражение делится на 8?

Можно строить, но только немного изменив:
"что произведение двух последовательных чётных чисел: либо $n(n-2)$, либо $ (n-3)(n-5)$ делится на 8, следовательно, и исходное выражение делится на 8".

[Maslov]

Marina в сообщении #319159 писал(а):

$(2(2k+1)+1)^2=(4k+3)^2=8(2k^2+3k+1)+1$?

Это один случай $(n = 2k+1)$.
Ну а для второго случая $(n = 2k)$:
$(2n + 1)^2 = (2(2k) + 1)^2 = (4k+1)^2 = 8k^2 + 8k + 1 = 8(k^2 + k) + 1$

[Marina]

Здесь было предложено несколько вариантов доказательств, и все логичны. Но какой из них математически наиболее безупречен?

[ИСН]

В математике всё безупречно, что верно. А что не верно, то уж - - -

[Marina]

Maslov Этим самым мы доказали, что квадрат нечётного числа при делении на 8 дает остаток 1?