Сведение уравнений в частных производных к обыкновенным

[evgeniy]

Функцию многих переменных f(x,y,z) можно выразить через функцию g(x,y,z) если у них одинаковые линии уровня f(x,y,z)=h[g(x,y,z)]. Это можно сделать в случае ограниченной функции g(x,y,z), сведя ее к периоду $2\pi$. Функция считается по формуле $f(x,y,z)=\sum a_n*exp[ing(x,y,z)]$ . Коэффициенты $a_n$ определяются в среднеквадратичном приближении, с помощью метода наименьших квадратов. Таким образом функцию от трех переменных представляем как функцию одной переменной, зависящей от трех переменных. Удалось построить для преобразования $x_k=h_k(q_1,q_2,q_3)$ общие линии уровня, т.е. выразить $x_k=P_k[g(q_1,q_2,q_3)]$. Это означает, что уравнение в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению.
В случае, если уравнение в частных производных векторное, вектор можно обратимым образом заменить на скаляр. Итак, векторное уравнение в частных производных с производными второго порядка, можно заменить одним уравнением со вторыми производными.

[ha]

Если вы знаете линии уровни решения, то разумеется скорее всего его можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Обобщение этого соображения называется методом характеристик.

[evgeniy]

Решение представляется в виде зависимости от одного параметра
$g(q_1,q_2,q_3)$ , который в свою очередь зависит от всех переменных. Эту зависимость от одного параметра можно определить только решая обыкновенное дифференциальное уравнение, следующего из уравнения в частных производных. Знание линий уровня и как следствие полученное дифференциальное уравнение не позволяет определить зависимость от параметра $g(q_1,q_2,q_3)$. Вообще то самое сложное было по преобразованию координат найти общие линии уровня у всех функций преобразования. Для этого необходимо, чтобы определитель Якоби этого преобразования имел ранг N-1. Так как для заданного тела, для которого и решаются уравнения в частных производных, необходимо иметь одну не определенную функцию, в частности зависимость от радиуса может иметь разный вид. Если зависимость от углов задана, то радиальную зависимость нужно определить, чтобы ранг определителя Якоби был равен N-1. При этом начальные условия для параметра $g(q_1,q_2,q_3)$ - константа, что позволяет использовать хорошие граничные условия, они же начальные для дифференциального уравнения.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #316800 писал(а):

Это означает, что уравнение в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению.

ничего такого не означает. Никакого УЧП у Вас не было. Если по-прежнему
утверждаете, что какое-то УЧП у вас имеется, то напишите его.

evgeniy в сообщении #316800 писал(а):

вектор можно обратимым образом заменить на скаляр.

Утверждение голословно. Докажите.

evgeniy в сообщении #316836 писал(а):

Решение представляется в виде зависимости от одного параметра

Решение чего?

[maxal]

Не об этом ли речь?
http://mathworld.wolfram.com/UniversalD ... ation.html

[evgeniy]

В начале я отвечу ha. Действительно дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка можно решить с помощью метода характеристик. Кроме того, если решение гиперболическое, или уравнение квантовой механики его можно решить относительно фазы с помощью экспоненты с мнимым большим параметром в фазе. Тогда второй производной от фазы пренебрегаем, и получаются уравнения первого порядка, которые можно решить с помощью уравнений Гамильтона. Т.е. можно получить высокочастотную асимтотику. Аналогия между решением уравнений в частных производных первой степени и тем, что я предлагаю есть. При нахождении параметра, от которого зависит решение, необходимо решать систему дифференциальных уравнений Гамильтона, или считать характеристики, как в методе характеристик. Далее при нахождении неизвестных вектор функций, решается одно уравнение второго порядка, если система уравнений в частных производных содержит частные производные второго порядка.
Странный или странная эта shwedka. Решение можно построить для любого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, нужно только, чтобы число неизвестных функций было не больше числа аргументов. Тогда вместо частной производной от аргумента, возникнет обыкновенная производная, умноженная на частную производную от аргумента. И в результате возникнет, обыкновенное, дифференциальное, возможно нелинейное уравнение, которое я и решаю.
По поводу сведения уравнения относительно вектора к скаляру. Оказалось, что функция от которой зависит решение это метрический интервал. Т.е. имеем $ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2$, кроме того имеем $V^2=V_1^2+V_2^2+V_3^2$. Т.е. и аргумент $dx_k$ и вектор функция $V_k$ образуют сферу, и зависят от одного параметра. Т.е $V_k=V*dx_k/ds$.
Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений свелось к зависимости V(s). Эту зависимость можно пересчитать к векторной зависимости. Скажу более, чтобы найти проекцию на ось $x_k$ нужно приравнять $s=x_k$ тогда получим $V_k(x_k)=V(x_k)$. При этом $x_k$ имеет определяемый вид и зависит от величины s.

[CowboyHugges]

Возьмите ту же задачу Дирихле для уравнение Пуассона в $R^3$ и сведите её к дифуру, вот тогда будет разговор предметный, а то сплошная вода.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые участники обсуждения!

evgeniy в сообщении #316800 писал(а):

Функцию многих переменных f(x,y,z) можно выразить через функцию g(x,y,z) если у них одинаковые линии уровня f(x,y,z)=h[g(x,y,z)]. ...Таким образом функцию от трех переменных представляем как функцию одной переменной, зависящей от трех переменных.

Не кажется ли Вам, что автор этой темы возвращает нас к уже подзабытой (25 авг 2008 18:17)ожесточенной дискуссии?:

Александр Козачок в сообщении #140686 писал(а):

...Доказательство о возможности такого представления вектора скорости (и любого другого вектора) можно получить из общеизвестных уравнений векторных линий (линий тока- в гидродинамике)... .

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

evgeniy в сообщении #318093 писал(а):

Решение можно построить для любого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных,

Я бы с Вами согласилась (хотя, конечно, не для любого!), но ведь у Вас никакого уравнения нет!!
Потому и вопрос: решение ЧЕГО?Где то дифференциальное уравнение, котпорое Вы, якобы, решаете?
И, вообще, ни на один мой вопрос ответа нет!

[evgeniy]

Уважаемая shwedka. ДЛя кого я писал, как считается вектор по скаляру.Если подумать, так там все и сказано. Вектор $V_i$ параллелен вектору $dx_i/ds$. Коэффициент пропорциональности определяется из значения модуля этого выражения. Есть и другое доказательство, но ограничимся этими соображениями.
По поводу применимости я поменял свои соображения. В случае если рассматриваются вектора, т.е. уравнение в частных производных инвариантно относительно ортогонального преобразования координат и вектора неизвестной функции, то задача сводится к одному уравнению второго порядка, если используются частные производные второго порядка. Если уравнение не инвариантно, то задача сводится к системе 2N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для той же системы, содержащей N неизвестных функций и N независимых переменных.
Во втором случае можно рассматривать нелинейное уравнение, содержащее вторые частные производные по двум аргументам относительно неизвестной функции, частную производную первого порядка, и неизвестные функции, причем все это может быть задано нелинейно. Просто получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений не разрешенную относительно старшей производной. Не говорите, что я Вам не сказал, какие уравнения можно рассматривать. Уравнение самого общего вида, как я его описал.
В частности инвариантная система уравнений НАвье-Стокса и неразрывности плюс уравнение состояния, сводится к одному нелинейному уравнению Навье-Стокса относительно модуля скорости и производной от логарифма плотности. ЛОгарифм плотности заменил давление с помощью уравнения состояния. Уравнение неразрывности сводится к уравнению производной от логарифма плотности, умноженное на модуль скорости плюс производная от модуля скорости.
Да по поводу метода характеристик. В результате решения уравнений Гамильтона относительно первой частной производной от фазы фаза определится. Если это большой параметр, то получим решение методом характеристик. Если фаза мала, то второй производной от фазы нельзя пренебречь и метод характеристик не применим.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемый evgeniy!

Вы в сообщении #319252 писал(а):

В частности инвариантная система уравнений НАвье-Стокса и неразрывности плюс уравнение состояния, сводится к одному нелинейному уравнению Навье-Стокса относительно модуля скорости и производной от логарифма плотности. Уравнение неразрывности сводится к уравнению производной от логарифма плотности, умноженное на модуль скорости плюс производная от модуля скорости.

Хотедось бы посмотреть на подробно изложеннные математические преобразования согласно Ваших заявлений

С уважением, Александр Козачок

[evgeniy]

Я и так слишком раскрываю карты. Статья ведь не опубликована. У меня была цель принципиальной оценки, того что я сделал. Кроме того, мне понравилось сообщение о методе характеристик, я как-то забыл, о его существовании. Кроме того, придумал новое доказательство перехода от вектора к скаляру, справедливое для каждой частной задачи.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #319252 писал(а):

ДЛя кого я писал, как считается вектор по скаляру.Если подумать, так там все и сказано.

Ничего не сказано!
По-прежнему, идет полнейшее размахивание руками,
не написано уравнение, которое решается,
не написаны преобразования. ПОлная болтология.
Если хотите,чтобы Ваш текст воспринимался как математика, сделайте его математическим. Приведите пример, хотя бы для уравнения Лапласа. Или для НС.

evgeniy в сообщении #319276 писал(а):

Я и так слишком раскрываю карты. Статья ведь не опубликована.

Ну, конечно, как всегда, изображается защита приоритета.
А король-то голый! Защищать нечего.

[evgeniy]

Если Shwedka считает, что полная болтология, то пусть будет болтология. Что я мог написать, то я написал. И область применимости, и уравнения для которых можно использовать конкретные решения. Описал, каково решение для уравнения Навье - Стокса. Большего без ущерба для здоровья я написать не могу.

-- Пт май 14, 2010 21:26:41 --

Ну хорошо я изложу как свести уравнение Лапласа ко второй производной. Но возникнет еще больше вопросов. Функция U зависит от $s(x_1,x_2,x_3)$. Запишем оператор Лапласа
$\sum_{l=1}^3 \frac {\partial^2 U}{\partial x_l^2}=\sum_{l=1}^3 \frac {d^2 U}{ds^2}*(\frac {\partial s}{\partial x_l})^2+\frac {dU}{ds}*\frac {\partial^2 s}{\partial x_l^2}=\frac {d^2 U} {ds^2}$
При этом справедливо $\sum_{i=1}^3 (\frac {\partial s}{\partial x_i})^2=\sum_{l=1}^3 (\frac {d x_l}{ds})^2=1$, кроме того, справедливо $\frac {\partial^2 s}{\partial x_l^2}=0$ и первая и вторая формула следует из равенства $ds^2=\sum_{l=1}^3 dx_l^2$
Используя формулу перехода от скаляра к вектору можно и оператор Лапласа от вектора свести ко второй производной от скаляра.

[CowboyHugges]

Ну вот беру я $U(\bar{x})=x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Тогда $\Delta U=6$. А по Вашей чудо-формуле у меня $6$ что-то ну никак не получается.