Сведение уравнений в частных производных к обыкновенным

[shwedka]

evgeniy в сообщении #319348 писал(а):

$\sum_{i=1}^3 (\frac {\partial s}{\partial x_i})^2=\sum_{l=1}^3 (\frac {d x_l}{ds})^2=1$

Бессмысленные
наборы символов.
Что такое $\frac {d x_l}{ds}$?

evgeniy в сообщении #319348 писал(а):

первая и вторая формула следует из равенства

Доказательство не приведено.

-- Пт май 14, 2010 20:22:48 --

evgeniy в сообщении #319348 писал(а):

$ds^2=\sum_{l=1}^3 dx_l^2$

А это откуда?

[Александр Козачок]

evgeniy в сообщении #319276 писал(а):

Я и так слишком раскрываю карты. Статья ведь не опубликована.

А Вы опубликуйте ее в Интернете. В некольких местах для безопасности. Создайте собственный сайт. Если статья готова, это займет несколько минут времени. Вы же хотите, чтобы участники форума проверили справедливость Ваших выкладок? Если да, то эти выкладки надо излагать прозрачно с минимальным обременением оппонентов. В противном случае заявление о Вашем новшестве для научного форума мало что значит.

С уважением, Александр Козачок

[evgeniy]

Величина $x_l(s)$ сложная зависимость и в результате вычисления $d^2 U/ds^2$ получится шестерка.
Зависимость $ds^2=\sum_{i=1}^3 dx_l^2$ получается в результате сложного определения величины $s(x_1,x_2,x_3)$. У начале сообщения, я указывал, как это сделать, но без строгого изложения. В результате определения величины s и получаются формулы, которые Вы назвали бессмысленными.
Я думаю о том, чтобы опубликовать статью в интернете. Но у меня нет достаточной ловкости, чтобы это сделать. Я просто не умею. В одном из форумов я отдал статью на опубликование. Но прошло три недели и результата пока нет. Кроме того, статья устарела, Навье - Стокса в ней нет.

-- Сб май 15, 2010 11:25:12 --

Разумеется при вычислении производной от ds по величине $x_l$ дифференциал $x_l$ в формуле для ds нужно представить как линейное приращение плюс квадратичный член с коэффициентом.

[evgeniy]

В примере с функцией равной сумме квадратов от которой берется Лапласиан по видимому окажется $x_l=s,l=1,...,3$ и тогда получаем верное значение Лапласиана. Вообще-то начальные условия зависимости $s=s(x_1,x_2,x_3)$ определяются формой тела. Почему я говорю начальные условия. Дело в том, что эта зависимость определяется из дифференциального уравнения и у него есть начальные условия при координатах, принадлежащих границе тела. При этом появится дополнительная константа при $x_l$, но я не уверен в деталях.

[shwedka]

по-прежнему размахивание руками.
Напишите в деталях, как вы решаете уравнение Лапласа. Пример
Решить уравненеие Лапласа в квадрате,
$|x|<1, |y|<1$ с граничными условиями
$u(x,1)=\sin(\pi x)$, и ноль на остальной части границы.

[errnough]

evgeniy в сообщении #319537 писал(а):

Я думаю о том, чтобы опубликовать статью в интернете. Но у меня нет достаточной ловкости, чтобы это сделать. Я просто не умею.

Откройте тему с таким вопросом в Свободный полет, я помогу. Расскажу, как сделать так, чтобы Ваша работа была экономией сил, и была пригодна и для публикации в Интернете, и подходила под требования для любой редакции для публикации на бумаге. Можно сделать так, чтобы коррекции вносились за 5 минут до публикации, и ничего в верстке не слетало.

evgeniy в сообщении #319537 писал(а):

Но прошло три недели ... Кроме того, статья устарела

:)) публиковать, видимо, рано...

--
Куликов Андрей,
по профессии издатель.

[CowboyHugges]

Что-то я ничего не понял, это Вы предлагаете для каждой функции интуитивно подбирать свою собственную $s$. Как же Вы тогда уравнения решать собираетесь? Давайте-ка лучше решите какой-нибудь простенький учп Вашим методом. Я бы конечно с удовольствие посмотрел на что-нибудь параболическое, коль Вы на Навье-Стокса замахнулись. Но прекрасно подойдет и пример предложенный г-жой shwedka.

[evgeniy]

Отвечать на вопросы не буду, создал файл в интернете. Читайте.
http://russika.ru/sa.php?s=370

[shwedka]

А ответить придется!! Ваша Теорема 2 на странице 3 ОШИБОЧНА.
Напишите ее в форуме в ТЕХе, как положено, и я нарисую контрпример.

[evgeniy]

Рассматриваются линии уровня для функций $f_k(x_1,...,x_N)=\alpha _k$. Они удовлетроряют уравнению $\sum_{l=1}^N \frac {\partial f_k}{\partial x_l}*dx_l=0$. Откуда следует дифференциальное уравнение $dx_l/dx_1=g_l(x_1,...,x_N),l=2,...,N$ в случае если ранг матрицы якоби $\frac {\partial f_k}{\partial x_l}$ равен -N-1. Решение дифференциального уравнения $x_l=h_l(x_1,x_{10},...,x_{N0})$ означает, что существуют общие линии уровня в случае ранга определителя Якоби N-1
$x_{l0}=Q_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N$ у функций $y_k=f_k(x_1,...,x_N)$
Теорема аналогична теореме 1, только она доказывается для N мерного пространства.

[shwedka]

А формулировку?? Напишите, плиз.

и учтите, пожалуйста, что у функций многих переменных есть не линии уровня,. а поверхности уровня

[evgeniy]

Допустим, имеем вырожденное преобразование $y_k=f_k(x_1,...,x_N)$. Т.е. ранг матрицы Якоби этого преобразования равен N-1. Тогда функции $y_k=f_k(x_1,...,x_N)$ имеют совпадающие линии уровня.

-- Пн май 17, 2010 22:12:02 --

Я к сожалению ухожу с работы, так что компьютера у меня больше не будет. До завтра.

[shwedka]

Ну, вот Вам пример. Имеется три функции от трех переменных, $N=3$
$f_1(x,y,z)=x+z, f_2(x,y,z)=y+z, f_3(x,y,z)=x+y+2z$
Матрица Якоби имеет ранг 2. общих поверхностей уровня нет!
Ни одна из функций не является функцией от другой.

[evgeniy]

Большое спасибо за пример. Это вырожденный случай. Дифференциальное уравнение будет
$\frac {dx}{dz}=-1$ $\frac {dy}{dz}=-1$
решение будет $x=c_1-z$ $y=c_2-z$
Если бы была сложная зависимость $x=x(z,c_1)$ $y=y(z,c_2)$ и тогда бы $f_1=x(z,c_1)+z$ $f_2=y(z,c_2)+z$ $f_3=x(z,c_1)+y(z,c_2)+2z$
и была бы принципиальная возможность выразить все уравнения через одну функцию, например $f_1$
В данном вырожденном случае, имеем $f_1=c_1$ $f_2=c_2 $ $f_3=c_1+c_2$

[shwedka]

вырожденный-невырожденный, а теорема, стало быть, неверна.
я Вам еë сколько угодно таких примеров набросаю.
Придется Вам формулировку менять!

evgeniy в сообщении #321048 писал(а):

Дифференциальное уравнение будет
$\frac {dx}{dz}=-1$ $\frac {dy}{dz}=-1$

Дифференциальное уравнение чего?
Не пытайтесь говорить о линиях уровня. Здесь ПОВЕРХНОСТИ уровня