О кривизне пространства

[Sasha2]

Наверно это вопрос для физиков.
Но вот хотелось бы чисто с математической точки зрения понять следующее:
Вот кривизна поверхности, это как бы абсолютная штука или она возникает толкьо потому что у нас есть еще и третье измерение?
А реальное пространство трехмерное не может быть кривым в трехмерном, а только в четырехмерном и так далее.
Так ли это?

[ИСН]

Некоторые вот говорят, что квазикристалл - это пяти, или там шестимерный кристалл. Ну, проекция такового. Но это - фикция, это наш человеческий способ думать об этом, а на самом деле есть только "здесь и сейчас".
То же самое и у Вас. Думаете, что пространство "на самом деле" прямое. А вдруг нет?

[Sasha2]

Нет ну тут ворос такой, вот если бы мир был одномерным, могли бы мы тогда определить, на прямой он находится или на кривой?
Или этот вопрос вообще неуместен, покуда мы не сможем "взглянуть сверху"?

[ИСН]

Ещё как уместен: идите по прямой вперёд до упора, может, вернётесь назад, а может, нет.
Другой вариант - измерить среднюю плотность Вселенной, но с этим пока проблемы.

[Sasha2]

Дело в том, что Ваше "может, вернётесь назад, а может, нет" - это и есть двумерность, только в заувалированной форме.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #316747 писал(а):

Вот кривизна поверхности, это как бы абсолютная штука или она возникает толкьо потому что у нас есть еще и третье измерение?

Абсолютная. Другое дело, что любое двумерное гладкое многообразие может быть (локально) силком втиснуто в трёхмерное неискривлённое пространство.

Sasha2 в сообщении #316754 писал(а):

вот если бы мир был одномерным, могли бы мы тогда определить, на прямой он находится или на кривой?

Не могли бы. У одномерного многообразия нет внутренней кривизны. Эти эффекты начинаются лишь с двумерного случая.

[terminator-II]

Sasha2 в сообщении #316747 писал(а):

Вот кривизна поверхности, это как бы абсолютная штука или она возникает толкьо потому что у нас есть еще и третье измерение?

Кривизна многобразия это характеристика (аффинной ) связности, которая задана на этом многообразии. Связность, коль скоро она задана, это внутреняя структура на многообразии. Однако, один из способов получить связность это индуцировать ее на многообразие с помощью метрики объемлющего пространства.

ewert в сообщении #316766 писал(а):

У одномерного многообразия нет внутренней кривизны.

В каком смысле нет? Зададим связность будет и кривизна. Другое дело, что на одномерном многообразии кривизна любой связности равна нулю.

[ewert]

terminator-II в сообщении #316782 писал(а):

Другое дело, что на одномерном многообразии кривизна любой связности равна нулю.

Это ровно и означает, что её нет.

[terminator-II]

ok

[мат-ламер]

Я вот недопонимаю такую штуку. Физики вроде пришли к выводу, что кривизна нашего трёхмерного мира нулевая. (Ранее предполагалось, хоть и не было доказано, что кривизна слегка положительна). В тоже время Вселенная замкнутая. Как это совместить?

[Sasha2]

Ну пока только одно понятно, "кривыми" могут быть только объекты, а не пространство, их содержащее.
Говорить о кривизне пространства по отношению к самому себе бессмысленно.
А если все же эти вопросы всплывают, значит не все пространство охвачено (точнее не все его измерения), а только лишь его некоторая часть.

[ИСН]

мат-ламер: и то, и другое - открытые вопросы.
Sasha2: всё не так. Позвольте представить Вам коллегу Sasha2_1. У него в школе были немножко другие аксиомы Евклида. К прямой можно провести сколько угодно параллельных. Сумма углов треугольника меньше 180° и зависит от площади. Ваше пространство он понимает как занятный математический курьёз и обычно представляет как хитрой формы фигуру, вложенную в "обычное" пространство на единицу большей размерности. Если долго убеждать в обратном, может дать линейкой по голове.

[errnough]

ИСН в сообщении #316833 писал(а):

К прямой можно провести сколько угодно параллельных.

:) Договаривайте. К прямой можно провести сколько угодно параллельных [чего]?

[Sasha2]

Нет, уважаемый ИСН, кривизна есть, как и в той, так и в другой аксиоматике.
Просто кажется, что кривизна возникает там, где не все измерения заполнены.
Грубо говоря встретили, что-то кривое, ищите дополнительные измерения.
ВОт это и хотел выяснить.

[paha]

Sasha2 в сообщении #317068 писал(а):

Просто кажется, что кривизна возникает там, где не все измерения заполнены.

У (гладкой) поверхности в $\mathbb{R}^3$ имеются две кривизны -- Гауссова и средняя. Гауссова вычисляется "без выхода" в пространство, например так:

$$ K(m)=\lim\limits_{r\to 0}\frac{3[2\pi r-l(m,r)]}{\pi r^3} $$

($l(m,r)$ -- длина окружности радиуса $r$ с центром в $m$). Эту кривизну может вычислить и плоская букашка, живущая на поверхности (исторический факт: Гаусс сам измерял кривизну "на местности", вычисляя углы треугольника, образованного вершинами гор).

Вообще же для введения кривизны достаточно уметь измерять расстояния (теория А. Д. Александрова). Вкратце:
рассмотрим полное пространство $(X,d)$ с внутренней метрикой,
построим там (маленький) треугольник из кратчайших,
нарисуем в модельной плоскости кривизны $\kappa$ треугольник сравнения (треугольник с теми же длинами сторон).
Скажем, что исходный треугольник $\kappa$-толстый, если его медианы больше, чем у треугольника сравнения (медианы должны существовать, но это технические подробности).
Если все достаточно маленькие треугольники в $X$ $\kappa$-толстые, то скажем, что $(X,d)$ -- пространство кривизны не менее $\kappa$.