Просто кажется, что кривизна возникает там, где не все измерения заполнены.
У (гладкой) поверхности в
имеются две кривизны -- Гауссова и средняя. Гауссова вычисляется "без выхода" в пространство, например так:
![$$
K(m)=\lim\limits_{r\to 0}\frac{3[2\pi r-l(m,r)]}{\pi r^3}
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/b/24b91c1cb111a063dc091876c0df1d0882.png "$$
K(m)=\lim\limits_{r\to 0}\frac{3[2\pi r-l(m,r)]}{\pi r^3}
$$")
(
-- длина окружности радиуса
с центром в
). Эту кривизну может вычислить и плоская букашка, живущая на поверхности (исторический факт: Гаусс сам измерял кривизну "на местности", вычисляя углы треугольника, образованного вершинами гор).
Вообще же для введения кривизны достаточно уметь измерять расстояния (теория А. Д. Александрова). Вкратце:
рассмотрим полное пространство
с внутренней метрикой,
построим там (маленький) треугольник из кратчайших,
нарисуем в модельной плоскости кривизны
треугольник сравнения (треугольник с теми же длинами сторон).
Скажем, что исходный треугольник
-толстый, если его медианы больше, чем у треугольника сравнения (медианы должны существовать, но это технические подробности).
Если все достаточно маленькие треугольники в
-толстые, то скажем, что
-- пространство кривизны не менее
.
