Геометрическая вероятность. Численное решение интегралов

[vitpl]

Господа. У меня проблема вот какого плана. У меня есть лабораторная работа, то есть задание, но нет лекций, и книг тоже нет(просто я сейчас не там где должен быть )
Пробовал найти в ниете что-нибудь подходящее, но везде ерунда начального плана.
Задание такое: найти объем тела, используя понятие геометрической вероятности, постоить доверительный интеграл на снове оценки

не то чтобы тело сложное, и найти его просто взяв интеграл несложно, но решать надо именно численно, то есть писать программу

что такое геометрическая вероятность представляю, да и с доверительными интервалами знаком, просто математикой и статистикой давно не занимался, если кто может, просто нужен сам метод-алгоритм то бишь, помогите своими соображениями или ссылками на нормальные ресурсы в инете по этой теме

[Macavity]

vitpl писал(а):

Господа. У меня проблема вот какого плана. У меня есть лабораторная работа, то есть задание, но нет лекций, и книг тоже нет(просто я сейчас не там где должен быть )
Пробовал найти в ниете что-нибудь подходящее, но везде ерунда начального плана.
Задание такое: найти объем тела, используя понятие геометрической вероятности, постоить доверительный интеграл на снове оценки

не то чтобы тело сложное, и найти его просто взяв интеграл несложно, но решать надо именно численно, то есть писать программу

что такое геометрическая вероятность представляю, да и с доверительными интервалами знаком, просто математикой и статистикой давно не занимался, если кто может, просто нужен сам метод-алгоритм то бишь, помогите своими соображениями или ссылками на нормальные ресурсы в инете по этой теме

Возможно речь идет о методе Монте-Карло или методе статистических испытаний (кажется так он звучит).


Обычно делают так, тело заключают в достаточно большой куб A*A*A (это объем куба, предположительно, что тело находится в пределах от 0 до A по каждой из трех координат).

Предположим, что поверхность тела определена формулой f(x,y,z)=0, то есть к телу относится все что f(x,y,z)<0

Используя датчик случайных чисел в куб кидают точки (x_i,y_i,z_i) - каждая координата случайное число от 0 до A, и проверяют выполнимост f(x_i,y_i,z_i) < 0. Если выполняется, значит точка попала внутрь тела, если нет, то точка вне тела, но в пределах куба. Считается количество точек попавших внутрь тела, делится на общее количество точек и умножается на A^3. Получается оценка объема тела.

Правда я не уверен, что это "геометрическая вероятность".
Можно сделать поиск по "метод Монте-Карло" или "метод статистических испытаний".
Я бы мог сказать и названия книг, но в данный момент под рукой их нет.

[PAV]

Все именно так. Геометрическая вероятность означает, что вероятность попасть в любую область пропорциональна объему этой области (а в точности равна отношению этого объема к объему основной области, куда мы кидаем точки). Этот эксперимент численно моделируется и согласно методу Монте-Карло истинная вероятность приближенно оценивается частотой, с которой искомое событие происходило. Делать нужно так, как написал Macavity.

Основная задача тут - взять хороший датчик случайных чисел. Он должен быть чистым и правильным, иначе все будет плохо.

[vitpl]

Цитата:

Возможно речь идет о методе Монте-Карло или методе статистических испытаний (кажется так он звучит).

да конечно метод Монте-Карло я знаю, да и интервал найду, но неужели все так просто. И еще интересно, а распределение брать равномерное. Просто не верится это все так просто, обычно задания предлагаемые этим преподавателем носят куда более сложный характер.

Спасибо огромное

Добавлено спустя 4 минуты 13 секунд:

Цитата:

Все именно так. Геометрическая вероятность означает, что вероятность попасть в любую область пропорциональна объему этой области (а в точности равна отношению этого объема к объему основной области, куда мы кидаем точки)

спасибо огромное, и что такое геометрическая вероятность я знаю, просто так получается слишком просто. Но все-таки убедили наверно это просто простая задача на метод Монте-Карло с равномерным распределением.

[PAV]

Ну, еще Вы должны показать знание того, как считаются доверительные интервалы. Плюс еще вопрос с дискретизацией - Вы реально будете ведь брать точки с некоторой точностью, что вносит некоторую систематическую (не случайную) погрешность в результат, которая не убирается с увеличением числа испытаний. Ну и наконец, еще раз повторю, что на точность результата будет сильное влияние оказывать то, насколько хороший датчик Вы примените. Не исключено, что в дальнейшем преподаватель предложит Вам сравнить результаты, полученные применением разных датчиков. Во всяком случае, я бы предложил.

[vitpl]

PAV писал(а):

Ну, еще Вы должны показать знание того, как считаются доверительные интервалы. Плюс еще вопрос с дискретизацией - Вы реально будете ведь брать точки с некоторой точностью, что вносит некоторую систематическую (не случайную) погрешность в результат, которая не убирается с увеличением числа испытаний. Ну и наконец, еще раз повторю, что на точность результата будет сильное влияние оказывать то, насколько хороший датчик Вы примените. Не исключено, что в дальнейшем преподаватель предложит Вам сравнить результаты, полученные применением разных датчиков. Во всяком случае, я бы предложил.

Да, конечно, интервал я построю, а все остальное бонусы, дело в том что задание типовое, то есть дается всему курсу в именно той формулировке, которую я указал сначала, и особых требований, как, например, сравнить датчики, я думаю не будет. Различается только тело, объем которого надо посчитать.
Хотя про систематическую ошибку, это интересно, надо будет оценить, речь я так полагаю идет в основном об определении попадает ли точка в область, которое будет идти с некоторой погрешностью?
Да разные датчики попробовать можно, но это уже для себя.
В любом случае, огромное спасибо

[PAV]

vitpl писал(а):

Хотя про систематическую ошибку, это интересно, надо будет оценить, речь я так полагаю идет в основном об определении попадает ли точка в область, которое будет идти с некоторой погрешностью?

Ну да. Из-за округлений может получаться, что точка искусственно попадает в область или же удаляется из нее. Т.е. на самом деле Вы будете вычислять не объем требуемой фигуры, а некоторой другой, составленной из малых параллелепипедов, аппроксимирующих исходную фигуру.

[vitpl]

Цитата:

Ну да. Из-за округлений может получаться, что точка искусственно попадает в область или же удаляется из нее. Т.е. на самом деле Вы будете вычислять не объем требуемой фигуры, а некоторой другой, составленной из малых параллелепипедов, аппроксимирующих исходную фигуру

Да об этом я и думал, спасибо огромное еще раз. Я думаю эту тему можно закрывать, сведений для выполнения лабы я получил достаточно

[malin]

Товарищи, скажите, пожалуйста, а можно ведь точки бросать не случайным образом, а просто набросать их так, чтобы они попадали, например, во все непересекающиеся области заданного(достаточно малого) радиуса?
Или во все маленькие параллелепипеды, на которые разбивается куб?

[PAV]

Можно, но тогда это уже будет не метод Монте-Карло, а просто численный подсчет площади фигуры путем покрытия ее маленькими квадратиками.

[Yu_K]

ИП писал

Цитата:

У моей дочки, когда ей было где-то 8 лет, в школе дали задание: придумать какой-нибудь научный проэкт, воплотить его и оформить результаты (все как у больших). В Америке это, кстати, очень популярная форма приобщения детей к околонаучной деятельности. Называется Science Project. Я ей тогда посоветовал именно эту задачу: "Как посчитать раков в пруду?". Обьяснил я метод так. Ловишь 100 раков, ставишь на спинке крестик и отпускаешь их на волю. Скажем, через неделю ловишь опять 100 раков и смотришь, у скольких из них есть крестик на спине. Если, например, у 10, то всего раков в пруду - 1000. Помню, дочка не до конца вьехала в мои обьяснения "как это все работает". На презентации она как смогла обьяснила идею "своими словами". Я так понимаю, что из детей никто абсолютно ничего не понял, но все решили: "какая умная девочка".

[ewert]

PAV в сообщении #40392 писал(а):

Из-за округлений может получаться, что точка искусственно попадает в область или же удаляется из нее.

Не может. Погрешность округления (типичная) -- порядка $10^{-15}$. А точность собственно метода?... Умаешься $10^{30}$ точек бросать.