Time писал(а):
А зачем стремиться к очевидному способу реализации предлагаемого мною преобразования? Каким бы сомнительным ни казалось мое предложение, оно основывается именно на знании алгебры и метрики пространства
.
Хотя бы потому, что я не знаю неочевидного способа :) . А в
Вы вкладываете явно больший смысл, чем я.
Time писал(а):
Хотя можно привести и утверждения, делающие предлагаемое преобразование на много более очевидным. Обратите внимание, что алгебра
изоморфна любой из трех алгебр:
или
. В отношении первых двух есть упоминания у Розенфельда в книге 2003 года "Геометрия групп Ли" в параграфе коммутативные ассоциативные алгебры. В отношении изоморфизма третьего варианта - у него, кажется нет, но тут не сложно и самому догадаться.
Не думаю, что все так просто. По крайней мере, я бы не поленился выписать определения этих трех пространств. Я выскажу свои соображения, но они могут не совпасть с Вашими. Согласно ЛШ, определение
равносильно следующему определению:
Пусть
– множество матриц второго порядка с вещественными коэффициентами. Рассмотрим алгебру гиперболических чисел
, при условии, что матричные единицы
и
удовлетворяют соотношениям
. (1)
Очевидно,
это обычная матричная (нейтральная) единица, а
– любая подходящая матрица, например
либо
. (2)
Легко убедиться, что они удовлетворяют требованиям (1). Следовательно,
и
эквивалентны между собой, т.е.
.
Совершенно по аналогии можно построить
.
Но
, где
, причем
, а
можно отождествить с единицей 1. Отсюда следует, что
, а матрица единицы
легко вычисляется. Также видно, что
это некоммутативная алгебра и потому не может совпадать с
. Заметим, что в данном случае, в определении
и
нет прямых сумм, поэтому речь идет не о вложении, а точном равенстве линейной оболочке.
В Вашем представлении
- явная двусмысленность. Если использовать аналогичную конструкцию линейной оболочки для тождественных мнимых единиц, то получим
, а если для различных мнимых единиц, то выйдем на процедуру удвоения комплексных чисел и получим в итоге тело кватернионов.
Так что очень желательно всегда приводить определения (свои или чьи-то, неважно) конструкций, которые могут вызвать двусмысленность. Я показал свои определения и ожидаю Ваших. Наверняка они будут отличаться. Тогда уже будем решать, чье определение «лучше» :) .
Time писал(а):
-аналитических функций, устроенных по образу и подобию таковых над
и
, тут почти не существует. Самые сложные из таких функций - дробнолиненйные, а этого слишком мало, что бы говорить о разложении всех аналитических функций комплексной переменных, коих несравнимо больше. В любом случае, идти через ТАКУЮ алгебру я никогда не предлагал и не предложу.
Вот, лишний повод думать, что в линейной оболочке
никакими поворотами комплексные аналитические функции не разложить на сумму и разность двух функций от одной переменной :) . А с пространством
у нас явные непонятки. Выясним Ваше определение его и тогда будем думать дальше :) .
Time писал(а):
Scholium писал(а):
А то что, скорее всего, никакое преобразование
в
не даст требуемого эффекта, я практически не сомневаюсь, но готов поискать доказательства этого.
Хорошо, что не смотря на уверенность в обратном, Вы готовы поискать, либо доказательства своей позиции, либо обнаружить неожидаемое. Одна просьба, когда будете искать, не ограничивайтесь преобразованиями из группы непрерывных вращений (так как с их помощью неизотропные вектора никогда не переходят в изотропные), а ищите среди множества всех линейных преобразований (на плоскости
- именно такое преобразование и приводит "нужному" результату).
Насколько я помню, пространство всех линейных операторов непрерывно по норме этих операторов. А группа вращений это всего лишь подмножество этого пространства, только и всего. Ну да ладно, со временем придем к определенному выводу.
Time писал(а):
Не знаю, как доходчивым для Вас языком объяснить, но на алгебре
, коли на ней уже определены три бинарные операции, а именно: сложение, умножение на скаляр и умножение числа на число - метрика оказывается заданной АВТОМАТИЧЕСКИ. Похоже, именно это и напрягает меня постоянно в Вашей регулярной путанице пространств
и
. Последнее пространство, до тех пор пока Вы не "назначите" ему какую-то метрику - остается просто аффинным пространством. А метрику Вы можете приписать ему чуть ли не произвольную. А вот на
метрика уже задана, так как в отличие от
здесь заранее определены не только операции сложения и умножения на скаляр, но и произведение двух произвольных пар чисел. А вместе с метрикой автоматически (а не руками как Вы с Рустом, похоже, полагаете) с данным пространством оказывается связанной именно его "родная" топология. Тоже самое имеется и на алгебре комплексных чисел (или Вы полагаете, что на ней мы можем задать любые метрику и топологию "от балды"?). И точно также дела обстоят с любой коммутативной и ассоциативной алгеброй поличисел, в том числе и c
. Метрика на ней появляется вместе с таблицей умножения, которая постулируется и отличает соответствующую алгебру от любой другой.
Еще один спорный вопрос, по которому мы наверное долго не найдем общих точек соприкосновения :) . Как определяется метрическое (нормированное) пространство? Берем произвольное векторное пространство и «назначаем» ему определенную метрику (норму). А то, что Вы описываете, как три операции – метрику не задают. Метрика это всегда привлеченная операция, которая фактически постулируется для данного метрического пространства. Например, возьмем эвклидову плоскость или пространство
. Как прямое произведение оно имеет метрику двух экземпляров
, которая этим
была «назначена», а именно модуль разности двух величин. Но часто
рассматривается только как векторное пространство, т.е. вообще без метрики (никак не определяя операцию умножения векторов). Чтобы различать эти ситуации, можно говорить векторное (линейное) пространство
, либо алгебра (прямого произведения / прямой суммы)
. Кстати, вопрос по Вашему утверждению. Какова «автоматическая» метрика (норма) пространства вещественных матриц, которые рассматриваются как векторные пространства размерности
?
В
, как векторном пространстве, а не алгебре прямой суммы, можно выбрать любую норму вида, например:
, где
. В результате получим нормированное пространство
. Причем эта норма легко обобщается на любое
. В комплексной плоскости модуль числа
совпал с нормой
пространства
, потому и использован в качестве нормы. Однако ничто не мешает использовать некий диалект
и использовать на нем любую норму
, при
.
В
модуль числа
не совпадает ни с какой нормой
пространства
, к тому же этот модуль удовлетворяет не всем аксиомам нормы, максимум, на что можно рассчитывать это получить на его основе полунорму (я сильно не вникал, но похоже это так). Поэтому поступать так, как сделано в комплексной плоскости
, по меньшей мере, опрометчиво. А именно строить (полу)метрику только на модуле числа
. Поэтому как поступить с метрикой (нормой) в
- это открытый вопрос. Лично я бы оставил норму
пространства
(и пространства
), но не отказывался бы и от модуля
как меры близости к делителям нуля. Однако всю сходимость и пределы строил бы на эвклидовой норме. Кстати, так многие и делают. У Вас, конечно, могут быть другие соображения. Например, ограничится только полунормой
. Или, может быть, Вы предпочитаете еще какой либо вариант. Однако при этом, я уверен, свойства алгебраического пространства
будут затеняться свойствами (полу)нормированного пространства
. Логично, наверное, рассмотреть все приемлемые для нас вариации пространств
, обозначив их разными метками и работать к конкретным «диалектом»
, так чтобы у других это вызывало вопросов. Эти моменты также можно будет отразить в общей статье.
Однако Ваш тезис, что умножение или алгебра автоматически задает метрику, я не могу принять. Я могу согласиться только с тем, что на базе алгебраических операций можно ввести некоторую метрику, но считать ее выделенной? Отнюдь!
И насчет «регулярной путаницы пространств
и
». Эти пространства изоморфны как алгебры и это уже доказанный факт!
это просто повернутый
на 45 градусов по часовой стрелке. И даже сопряжение, модуль и аргументы этих пространств также изоморфны. Если какое-либо свойство Вы считаете не изоморфным, то просто приведите контраргумент и все сразу станет ясно.
А про аффинные пространства говорить не стоит, ибо мы работаем с линейными векторными пространствами.
Time писал(а):
Я, кажется, наконец увидел причины нашего взаимного непонимания в вопросе о коммутирующих (некоммутирующих) эллиптически мнимых единицах. Вы их рассматриваете как матрицы 2х2, а я и Гарасько для такой алгебры как
как метрицы 4х4! Естественно, что в "Вашем" представлении ТАКАЯ эллиптическая единица могла быть только одна, тогда как в "нашем" много и они вполне коммутируют между собой и с гиперболическими мнимыми единицами, также, кстати, представляемыми матрицами 4х4. Перейти от "Вашей" 2х2 матрицы к "нашим" двум 4х4 в изотропном базисе довольно легко. Нужно просто поставить "Вашу" в левый верхний угол матрицы 4х4 состоявшей до этого из одних нулей, а для получения второй мнимой единицы, коммутирующей с первой, поставить в правый нижний угол нулевой матрицы 4х4. Если после этого перейти из изотропного базиса в "ортонормированный", то появятся те две эллиптические мнимые единицы, о которых говорил выше я. В отличие от "Ваших" мнимых единиц, у которых в смысле четырехмерной финслеровой метрики - нулевой модуль, то есть, они связаны с изотропными векторами этого четырехмерного пространтсва, у "моих" в смысле этой метрики самые настоящие единичные модули. То есть, мы с самого начала говорили о РАЗНЫХ эллиптических единицах четырехмерного финслерова пространства, связанного с алгеброй
.
Я уже демонстрировал две эквивалентные (при раздельном использовании), но разные эллиптические единицы второго порядка (см. здесь формулы (2)). Они симметрические и должны коммутировать между собой. И вполне можно пытаться на их основе в совокупе с нейтральной единицей строить линейную оболочку над
. Эта как раз конструктивная часть линейных оболочек независимых матричных единиц над
. На этой идее можно строить произвольные поли- и гиперчисла. По сути, весь вопрос сводиться с матричному разложению квадроединичной матрицы (т.е. матрицы, все поля которой равны 1) на полную сумму независимых матричных единиц. Наверное, такие разложения будут неединственными и при больших размерностях – нетривиальной задачей (во всяком случае, пока). К этой части наших исследований мы обязательно перейдем, когда разберемся с
и
. Меня будут интересовать вопросы минимальности порядка разложения с заданными свойствами, вопросы классификации и т.п. Но это будет уже следующий этап исследований. Сейчас мне не хочется заниматься трехмерными и четырехмерными поличислами, так как еще слишком много произвола и мало порядка. И еще, единицы могу быть разными, но эквивалентными (даже разных порядков). Это означает, что их независимые линейные оболочки будут давать изоморфные пространства.
Time писал(а):
Вы также не правы, когда пишите, что
Цитата:
..оба пространства не «видят» друг друга и работают «сами по себе».
Постулированный закон произведения элементов, представленных В ЛЮБОМ базисе, а не только в изотропном (в котором, собственно только и происходит разделение на две вроде бы как независимые алгебры) связывает все пространство в единое целое и на нем именно благодаряя этой связи имеется все объединяющая финслерова метрика, причем одна единственная, а не какую Вы захотите этому пространству приписать. Мы с Гарасько слишком давно работаем с такими пространствами, что бы "лохануться" в таком вопросе..
На сколько я помню, в своей книге Гарасько доказывает теорему, согласно которой все алгебры невырожденных поличисел размерности три и выше (а тут работает известная Вам теорема Вейерштрасса) оказываются естественным образом связанными с конкретными метриками финслеровыми метриками, точно также как алгебра комплексных чисел естественным образом связана с евклидовой метрикой. Произвола тут нет никакого..
Я говорил только и исключительно о прямом (декартовом) произведении и прямых суммах произвольно заданных пространств (множеств) и алгебре такой прямой суммы. Ничего личного, исключительно математические определения и только. Просто Ваша конструкция не вписывается в алгебру и топологию прямых сумм, Вы говорите об этом, а подразумеваете что-то совершенно иное. Вот по этому мы и не понимаем друг друга, потому что вкладываем разный смысл в одни и те же математические термины. Помню слова Руста Вам: «поскольку мы не фиксируем математическую терминологию. . .»
Time писал(а):
Мне кажется, что основная причина обсуждаемого недоразумения связана с тем, что Вы идете от конструкции прямой суммы, а мы с Гарасько (так уж исторически сложилось) шли от таблицы умножения выраженной не в изотропном базисе, а в "ортонормированном". Естественно, что свойства чисел от базиса не зависят, но восприятие их существенно меняется в зависимости от того, с какой таблицы умножения и в каком базисе начинаешь ими заниматься.
Да, нет! О прямой сумме я говорю по большей части потому, что Вы ставите их во главу угла при построении поличисел, на основании теоремы Вейерштрасса. В первом кусочке нашей статьи, что я послал Вам, вместо теоремы Вейерштрасса я предлагаю говорить о теоремах Кэли и Вадерберна-Артина. И на их основе переходить к конструктивному построению поли- и гиперчисел на базе линейной оболочки независимых матричных единиц над
(а тут могут быть нетривиальные теоремы). А таблица умножения (не важно, в каком базисе, как говорят, с точностью до подобия) у меня вторична и получается автоматом на базе независимого матричного разложения квадроединичной матрицы (а эту теорему еще предстоит доказать).
Time писал(а):
Scholium писал(а):
Процедуру удвоения я совершенно не использую! Использую только линейную оболочку, в которой результирующая размерность может быть любым натуральным числом, а не только степенью двойки. Топологию и метрику я также пока не использую,
Вот в последней фразе, похоже, и кроется причина столь затянувшегося недоразумения. Как только задано правило умножения ВСЕХ пар чисел (а оно задано, как только мы записали, что алгебра изоморфна
), а не только внутри подалгебр, являющихся элементами прямой суммы, на всем n-мерном пространстве - у нас появляется и конкретная метрика, и конкретная топология (с последним, может, все обстоит и сложнее, но метрика появляется точно и это доказано). Причем вместе с этой метрикой автоматически оказываются заданными и группы симметрий, причем не только обычно понимаемых под этим термином изометрических и конформных преобразований, сохраняющих длины и углы, но и более сложные, имеющие под собой очень непривычные чисто финслеровские метрические инварианты. Не стой всего этого за алгеброй
АВТОМАТИЧЕСКИ, думаю, ей было бы совершенно не интересно заниматься. Но именно этого Вы ее и стараетесь так усиленно лишить. :)
Кем доказана? То о чем Вы говорите, звучит как классика. И если это так, то должны существовать тонны ссылок на подобные факты. Без ссылок мы будем бесконечно ходить по кругу. Вы будете говорить о некотором утверждении как о факте, я не соглашаться. И без явных ссылок это будет напоминать разговор слепого с глухим. Мне, чтобы доказать невозможность указанного Вами факта потребуется затратить на порядок больше усилий, чем Вам намекнуть на основные идеи доказательства. Тот же пример о разложении аналитических функций в
. Я до сих пор не могу понять на чем основана Ваша уверенность в этом, а чтобы доказать обратное, мне надо очень напрячься, в смысле времени. По возможности я стараюсь приводить некоторые выкладки своих рассуждений, например, привел собственное доказательство изоморфности
и
(помимо ссылки на этот факт у Розенфельда). Вы же безо всякой критики доказательства (из одной строчки!) пишите насчет «регулярной путаницы пространств
и
». Если путаница, значит ошиблись Розенфельд и я. Но где указание ошибки? Ну, и так далее. Я, конечно, понимаю, что говорить математически строго для Вас трудно, да и мне нелегко, но без желания опираться на строгие математические формулировки (определения и теоремы) мы только и будем что толочь воду в ступе, вместо занятия реальным делом. Например, я хочу проверить замечание Руста, брошенное им вскользь, что интеграл типа Коши в
при использовании вместо малых окружностей гипербол с модулем, стремящимся к нулю и, соответственно, с учетом поведения функции на бесконечности, можно получить аналог интегральной формулы Коши в
такой же, как и в
.