Решетка на шаре

[e7e5]

Интересует такой вопрос.
Можно ли на шаре радиуса $R$ задать решетку, узлы которой "равномерно" распределены по поверхности шара.

Аналог - целочисленная решетка на плоскости, когда система прямых
$x=m$; $y=n$, где $m$ и $n$ - целые числа.

Вообщем то вопрос также в раскраске шара маленькими криволинейными квадратиками...

Думается, что нужно ввести какой-то характерный размер ячейки такого квадрата $\frac {\pi R} {\gamma}$, $\gamma$ - характерный коэффициент пропорциональности.
Какие есть идеи?

PS Сорри, если не совсем четко сформулировал вопрос.

[ИСН]

В сферической геометрии с паралелльными прямыми как-то туго. Поэтому на квадратики рассчитывать не приходится. А в остальном - правильные многогранники к Вашим услугам.

[e7e5]

ИСН в сообщении #315181 писал(а):

Поэтому на квадратики рассчитывать не приходится. А в остальном - правильные многогранники к Вашим услугам.

На квадратики и не расчитываю, но вот какие-то криволинейные ( деформированные) -подошли бы.

Какие вообще тогда могут быть раскраски заполнения ( криволинйными квадратиками, другими правильными многогранниками)?

[Yu_K]

http://dxdy.ru/topic29764-30.html - отсюда начните.

[Circiter]

2e7e5
Можно попробовать сначала равномерно распределить некоторое количество точек на сфере, а потом построить для них диаграмму Вороного.

Решение первой задачи описано в G.Marsaglia, Choosing a Point from the Surface of a Sphere.

Для решения второй задачи нужно построить области Вороного для всех точек. Каждую такую область можно попытаться строить последовательным отсечением оставшейся части сферы сферическими параллельными, делящими пополам отрезки, соединяющие текущую точку со всеми отстальными.

Примерно так можно... Наверное...

Ну и совет ИСН'а неплохо бы было во внимание принять. Можно, к примеру, научиться строить разные выпуклые многогранники (не обязательно правильные), а потом проецировать их ребра и вершины из центра многогранника на некоторую содержащую этот многогранник сферу...

А ещё, кажется, можно покумекать с вариациями на тему environmental mappings'ов из компьютерной графики (т.е., я предлагаю попробовать натягивать подходящие текстурки на вашу сферу).

[Профессор Снэйп]

"Квадратная" решётка из восьми точек легко строится: опишем сферу вокруг куба, возьмём центральные проекции рёбер на сферу...

[ewert]

Ну берём просто этот кубик и разбиваем каждую грань на много-много квадратиков, а потом проецируем. Получаем решётку из четырёхугольников. Неправильную, конечно, но правильная ведь и заведомо невозможна, так чего ж о ней и задумываться.

Хотя тогда уж приятнее для глаза строить аналогичным образом треугольную решётку, взяв за основу икосаэдр. Многие, по слухам, так и поступают.

[Батороев]

Если исходить из условия, заданного топик-стартером о равномерности распределения узлов решетки по поверхности шара, то предложение Профессора Снэйпа подходит, а ewert'a - нет.

Батороев в сообщении #282834 писал(а):

А в общем случае, наверное, нужно исходить из следующих соображений (http://rcio.pnzgu.ru/personal/54/1/1/prim.htm):

Цитата:

Проектируя границу правильного многогранника из его центра на описанную сферу, мы получаем разбиение сферы на равные правильные многоугольники (проекции граней многогранника). Обратно, для всякого разбиения сферы на равные правильные многоугольники выпуклый многогранник, вершинами которого служат вершины разбиения, является правильным.

Полученный выше результат означает, что имеется ровно пять правильных многогранников. Это известные с древних времен тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

[ewert]

Батороев в сообщении #315465 писал(а):

Если исходить из условия, заданного топик-стартером о равномерности распределения узлов решетки по поверхности шара,

А зачем из него исходить, когда это заведомо невозможно, кроме платоновых тел, а для них очевидно.

[Батороев]

Ну значит, ответ на вопрос топик-стартера и будет: "центральные проекции платоновых тел на сферу".

[e7e5]

Прошу прощения, решетка с равномерно распределнными узлами должна обладать тем свойством, что ее узлы равноудалены друг от друга на сфере ( по аналогии с узлами решетки на плоскости).

Например, если даны две точки ( $N=2$), то достаточно разместить эти две точки на противоложных концах какого-нибудь диаметра. Ясно, что длины двух кривых, соединяющих эти точки по поверхности шаре, будут равны.

Если взять $N=3$, то это будет сферический треугольник, а вот что дальше?
Вроде бы шар можно покрыть такими специальными треугольниками, но совсем мне не очевидно, будут ли узлы равноудалены, а самое главное, какое есть условие на $N$? Где на сфере эти $N$ точек отмечать?

[Circiter]

2e7e5
О, точный ответ на ваш вопрос пока дать невозможно (дюжину точно можно разместить). Открытая проблема. :)

Поэтому попробуйте использовть уже данные вам советы (например мой, с равномерным распределением точек и последующим построением диаграммы Вороного).

Думаю, можно даже еще что-нибудь добавить. Например, в соседней теме я уже советовал одному человеку размещать точки с помощью пружинных систем, такое решение подошло бы и вам. Просто разместите на сфере желаемое количество электронов, возможно связанных пружинами (изначально электроны можно разместить в узлах регулярной полярной сетки, т.е., на пересечении параллелей/меридианов) и начинайте симуляцию по законам Хука/Кулона (с демпфированием), через некоторое количество итераций точки будут распределены сравнительно равномерно и процесс можно будет прервать.

[maxal]

Про "равномерные" расположения точек на сфере - см. topic20466.html

[e7e5]

Спасибо за статьи.
В них обсуждаются ряд известных задач расположения точек на сфере:
1) Электроны на сфере, конфигурация которых обладает минимальной потенциальной энергией.
2) Как расположить $N$ точек на сфере, так чтобы сумма всевозможных расстояний между ними стала наибольшей
3) наименьшее расстояние между ними стало наибольшим ( задача диктатора)
4) произведение расстояний было наибольшим.

Однако, как в случае с кулоновским взаимодействием учитывается просто длина отрезка, соединяющего соответствующие точки.

Попробую задать вопрос чуть по другому. На шаре радиуса $R$ распределены $N$ точек. Точки распределены равномерно так, что на случайно выбранном элементе поверхности шара площадью $\delta s$ , будет насчитываться примерно одинаковое количество точек - т.е. ищется такое минимальное значение $N$, при котором точки будут почти равномерно распределены на поверхности шара.

Ясно, что точек должно быть очень много. Но много, это сколько? Какая оценка снизу?

[Yu_K]

e7e5

Цитата:

Попробую задать вопрос чуть по другому. На шаре радиуса распределены точек. Точки распределены равномерно так, что на случайно выбранном элементе поверхности шара площадью , будет насчитываться примерно одинаковое количество точек - т.е. ищется такое минимальное значение , при котором точки будут почти равномерно распределены на поверхности шара.

Для отрезка $[0,1]$ приведите пример оценки $N$ снизу, того что $N$ точек на нем распределены почти равномерно. А там народ подключится и может быть поможет. Главное тут, до народа донести то, чего Вы хотите. Народ просто не понимает сути.

И как вариант взять рациональные точки на сфере. Точки (с рациональными координатами) на сфере единичной с центром в нуле - будут равномерно распределены? Если да, то помаленьку их выкидывайте до нужного Вам N.