Решетка на шаре

[ewert]

Yu_K в сообщении #316088 писал(а):

Точки (с рациональными координатами) на сфере единичной с центром в нуле - будут равномерно распределены?

Нет.

Во-первых, непонятно, что эти слова означают.

Во-вторых -- предположим, что понятно. Т.е. предположим, что они распределены равномерно на отрезке. Тогда на сфере-то уж точно нет.

[ИСН]

Можно попытаться придумать этим словам такой смысл, чтобы и там, и там получалось "равномерно".
Да что далеко ходить! Действительные числа на отрезке распределены равномерно? Вполне: где ни вырежем отрезочек длиной 0.001, их там будет одинаково. А на сфере? То же самое! Ну а теперь "помаленьку их выкидывайте до нужного Вам N."

[Yu_K]

ewert
А почему сразу нет? И что непонятно? Где-то была статья - и было показано, что параметризация точек сферы типа такой
$x=4mnrq/d$
$y=2rq(m^2-n^2)/d$
$z=(m^2+n^2)(r^2-q^2)/d$
$d=(m^2+n^2)(r^2+q^2)$
полная (т.е все рациональные точки сферы здесь сидят) и там были рассуждения о плотности точек и что-то о равномерности. Погуглить смаху не получается.


ИСН
Надо же как-то задать вектор движения топик-стартеру. Чтоб он определился с желаемым направлением.

Примеры равномерных распределений точек на сфере здесь
http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html

[Yu_K]

http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/rational.pdf
Using only basic tools from the theory of modular forms, the rational
points of bounded height on the sphere are counted and shown to be
uniformly distributed. The more difficult case of points with a given
height is also treated.

Нашел.

[Circiter]

2e7e5
Вы заметку от Marsaglia прочли? Чем вас такой подход не устраивает? Просто действительно непонятно, что вам нужно...

Вот например,

Цитата:

ищется такое минимальное значение $N$, при котором точки будут почти равномерно распределены на поверхности шара.

Как это понимать?

Обычно под равномерностью интуитивно понимается симметричность расположения точек. Если их распределить регулярно в полярных координатах, то, опять же интуитивно, такое распределение вовсе не будет равномерным и его плотность будет гораздо выше на полюсах чем на экваторе.

Именно с полярными эффектами и борятся, т.е., под равномерностью надо понимать неотличимость приполярной зоны от экваториальной. Вам ведь именно это нужно?

[Circiter]

Насчет рекомендованной мной вам статейки попробую пояснить. Суть вся на самом деле всего-лишь в том, что случайный (с нормальным распределением) 3-вектор, поделенный на свою длину, равномерно распределен по единичной 2-сфере.

Кстати, ранее упомянутый подход с центральным проецированием выпуклых многогранников можно обобщить. А именно, можно получить равномерное распределение точек по сфере центрально спроецировав на нее пересечение ограниченного ею шара с любой регулярной решеткой в объемлющем пространстве. Более того, вместо решетки можно взять любое равномерное распределение точек (фактически, по объему "линейной оболочки" сферы, т.е., по содержащему ее кубу).

Экспериментируйте. :)

[e7e5]

Если рассматривается сфера в пространстве $R^d$, $d=2$ проще говоря окружнось,
то $N$ точек очевидно легко распределить равномерно, как корень $n$-ой степени из $1$.
Т.е. есть направление и порядок расположения.

Если $d \ge 3$, то требуются иные методы, критери для "равномерного" распределения. Во всех выше указанных работах и расматриваются некоторые, например такие как:
-Best packing points;
- Fekete points;
- Logarithmic points

Также понятно, что могут указанные вами "полярные эффекты"....

Меня же интересует более простой вопрос.

Представьте шар радиуса $R$, на нем нанесены как-то $N$ точек. Далее ставится опыт:
1) Берется наугад маленький кусочек $\delta s$ поверхности этого шара и считают, сколько точек он содержит.
2) Берется наугад другой такой же по площади кусочек и снова считают, сколько на нем точек
.... и.т.д исследуют всю поверхность шара
В итоге определяют, что каждый раз в каждом кусочке оказывалось примерно одинаковое количество точек ( примерно одинаковое в смыле по отношению к общему числу точек на сфере, в физике обычно критерием было бы сравнение с числом Авагадро - сколько молекул или структруных единиц вещества содержится в одном моле вещества).

Так вот интересует взаимосвязь, оценка для $R$, $N$, $\delta s$, когда такой опыт имеет положительный реультат. В этом смысле точки будут равномерно распределены по сфере.

[Circiter]

2e7e5

Цитата:

Так вот интересует взаимосвязь, оценка для $R$, $N$, $\delta s$, когда такой опыт имеет положительный реультат.

Все равно ничего непонятно. :) Но очевидно, что есть такая взаимосвязь: $\delta s\approx S(R)/N$, где $S(R)$ - площадь сферы радиуса $R$, причем в знаменателе напрашивается что-то вроде логарифма или наоборот, экспоненты (скорее всего), в общем, какая-то нелинейность там должна быть...

Т.е., вам нужны именно какие-то аналитические свойства равномерных распределений по сфере, а не сами распределения?

[Профессор Снэйп]

e7e5 в сообщении #315974 писал(а):

Однако, как в случае с кулоновским взаимодействием учитывается просто длина отрезка, соединяющего соответствующие точки.

Ага, точно. Кинуть $n$ одинаково заряженных частиц на сферу и посмотреть, как их распределит кулоновское отталкивание. Кстати, будет ли в этом случае сложившаяся конфигурация устойчивой (с точностью до поворотов сферы)? Допускаю, что при некоторых $n$ будет, а при некоторых нет.

[ИСН]

Вы только что придумали вечный двигатель. Осталось найти такие n, при которых, значит...

[Профессор Снэйп]

ИСН в сообщении #316564 писал(а):

Вы только что придумали вечный двигатель. Осталось найти такие n, при которых, значит...

При чём здесь вечный двигатель?

Шар на плоскости стоит неустойчиво, а куб --- устойчиво. Устойчивость не означает, что конфигурация точек будет самопроизвольно менять своё положение с освобождением энергии. Говорится всего лишь о том, что положение может меняться при весьма малых возмущениях.

[Circiter]

2Профессор Снэйп

Цитата:

Кстати, будет ли в этом случае сложившаяся конфигурация устойчивой

Конечно гарантий устойчивости нет. Там очень много локальных минимумов энергии. Например, представьте, что заряды вы бросили прямо на экватор, что им мешает оставаться на экваторе, а не растекаться к полюсам? Да ничего, они просто равномерно распределятся по большой окружности сферы и сами никуда не сдвинутся. Поэтому надо их заранее раскидать по сфере случайным образом, да еще и пружин понадобавлять, а потом пару раз встряхнуть...

[e7e5]

Circiter в сообщении #316509 писал(а):

2e7e5

Цитата:

Так вот интересует взаимосвязь, оценка для $R$, $N$, $\delta s$, когда такой опыт имеет положительный реультат.

Т.е., вам нужны именно какие-то аналитические свойства равномерных распределений по сфере, а не сами распределения?

Именно, как описано в постановке "опыта". Не вдаваясь в конкретное распределение точек на сфере важно осмыслить взаимосвязь указанных величин, которые "управляют" таким явлением в опыте.

Представьте, что $N=1$, в качестве $\delta s$ исследователь берет такое значение площади, которое сопоставимо с площадью всего шара: $\delta s =S$
Очевидно, что как бы наугад таким инструметарием не пользовался исследователь, каждый раз в опыте будет обнаруживаться одна точка.

С другой стороны, если инструмент в опыте поменяется ( $\delta s <S$), результат будет совершенно иным.

Случаи маленьких $N$ ( вообще не ясно, какой критерий: что такое мало и много?) не рассматриваются. Интересно, когда на сфере точек очень-очень много ( то же какой критерий? - ведь точка не имеет размера). У исследователя есть "анализатор" кусочка гигантского шара. Каждый раз берутся пробы на число точек и каждый раз в пробе примерно рвное число точек....

[Батороев]

e7e5
Вы сначала определитесь с понятием "равномерность".
Например, у меня это понятие ассоциируется с тем, что поверхность сферы можно разделить на $N$ одинаковых частей, центром симметрии каждой из которых будет одна из точек. При таком раскладе под категорию "равномерность" даже экстремальные точки (точки, расположенные с учетом кулоновских сил) не подходят, не говоря уже о трех точках, равномерно распределенных по экватору.
Поэтому считаю, что равномерно расположенными точками на сфере могут быть только вершины вписанных в сферу платоновых тел.

[venco]

Батороев в сообщении #316795 писал(а):

e7e5
Вы сначала определитесь с понятием "равномерность".
Например, у меня это понятие ассоциируется с тем, что поверхность сферы можно разделить на $N$ одинаковых частей, центром симметрии каждой из которых будет одна из точек. При таком раскладе под категорию "равномерность" даже экстремальные точки (точки, расположенные с учетом кулоновских сил) не подходят, не говоря уже о трех точках, равномерно распределенных по экватору.

Если разрезать сферу по меридианам между точками, разве они не окажутся в центрах симметрии кусков? Причём при любом количестве точек.