Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[Scholium]

Time писал(а):

Предлагаю компромисс. Раз уж так хочется называть аналитичностью то, что у Садбери предложено в качестве таковой для кватернионов, на поличислах могло бы называться конфориной аналитичностью или как-то еще, подчеркивая, что это другая аналитичность, имеющая непосредственную связь с конформной группой симметрий. Или наоборот, для кватернионной аналитичности использовать термин, например, лапласовской аналитичности, тем самым подчеркивая, что такая аналитичность порождает по сути лишь одну скалярную функцию, являющуюся решением уравнения Лапласа, Даламбера или их аналогов.

Я пока не готов вести серьезную дискуссию по кватернионам. Что касается определения аналитичности, то мне интересна идея Гантмахера выражать ее через матричный аналог интегральной формулы Коши. Так что есть над чем поработать в данный момент.

Time писал(а):

Да, при таком приеме мы покидаем пространство $C$ и переходим в прямую сумму $C+C$ (возможен переход и в $C+H_2$, но тут я плохо ориентируюсь). Вы ошибаетесь, предполагая, что единицы этой алгебры не коммутируют друг с другом и алгебра некоммутативна. В свое время я хорошенько с такой алгеброй повозился и имею право смело утверждать, что в этой алгебре четыре коммутирующих единицы: две гиперболического типа 1 и $j$ и две эллиптического $i$ и $ij$. Для последней можно было бы ввести свой символ $k$ как это делают в кватернионах, но можно обойтись без этого, так как все равно окажется, что $k=ij=ji$ и потому можно работать без дополнительного самостоятельного символа. Таблица умножений этой алгебры простая, хотя и несколько более сложная, чем для $H_4$. Матрица таблицы умножения Кэли - симметрическая, как и положено для коммутативных алгебр.

Мы переходим не в пространство, порожденное прямой суммой $\mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$ или $\mathbb{C} \oplus \mathbb{H}_2$, а в линейную оболочку простой суммы множеств, т.е.
$<\mathbb{C} + \mathbb{H}_2> = e \mathbb{R} + i \mathbb{R} + j \mathbb{R} + i j \mathbb{R}$.
Легко проверить, что $i j = - j i$, т.е. мы имеем некоммутатив! То, о чем Вы пишете далее это уже совершенно другое пространство и другая алгебра. Матрицы комплексной единицы $i^2 = -1$ и параболической единицы $\varepsilon^2 = 0$ являются несимметрическими, в отличие от гиперболической единицы $j^2 = 1$. Поэтому, чтобы сохранять алгебры коммутативными, единицы $i$ и $\varepsilon$ могут образовывать линейные оболочки только с обычной (нейтральной) единицей $e$, такой, что $e^2 = 1$.
Когда Вы имеете другие соотношения, то и матрицы этих единиц будут уже не эквивалентными. Т.е., еще раз, не могут некоммутирующие (несимметрические) единицы находится в паре с другими единицами, отличной, от нейтральной. Иначе будет некоммутатив! Я согласен с тем, что матрица единицы $k = i j$ является симметрической (но $i j = - j i$), однако $k^2 = 1$, поэтому это гиперболическая единица, а не эллиптическая. Так что в коммутирующей алгебре размерности выше двух не могут присутствовать эллиптическая или параболическая единица, ни под каким соусом. Могут быть только единицы с симметрическими матрицами.

Time писал(а):

Стоящее за такой алгеброй четырехмерное пространство, обладает финслеровой метрической функцией с четвертыми степенями зависимости от компонент. В этом пространстве два двумерных подпространства изотропных векторов, соответствующих делителям нуля. Эти две плоскости не делят все четырехмерное пространство на отдельные области, грубо говоря, ведут себя как одномерные прямые в трехмерном пространстве, то есть, их всегда можно обойти по непрерывной кривой. Индикатриса этого пространства также односвязна. Моуль числа - всегда неотрицателен. В этом пространстве вместе с Гарасько мы получили аналог формулы Коши для комплексных чисел, в котором фигурируют все мнимые единицы, а не только одна, как в приводившемся Вами обобщении для матриц. Короче, это очень интересное пространство. И совсем не такое, каким оно Вам показалось экспромтом..

Можно определить множество симметрических таблиц умножения (правда, нужно будет еще показать, что под них существуют нужные матрицы, хотя, по-видимому, это не должно быть проблемой, особенно с учетом некоторого произвола в выборе размерности матричных единиц) для алгебр третьего, четвертого и т.д. порядка. Соответственно и топологию можно ввести на них разную. И конкретные вариации интегральных формул Коши там могут быть очень разнообразны. Что касается формулы Коши – Гантмахера, то, как мне кажется, присутствие там под интегралом комплексных переменных и чисел очень оправдано, ибо поле $\mathbb{C}$ - выделенное поле (единственное бесконечное алгебраически замкнутое). И это не должно нас смущать, так как это «немые» переменные и числа, т.е. они входят в правую часть уравнения, но не входят в левую! А по-другому формулу подобно уровня представить невозможно. Произвольные подпространства делителей нуля потребуют к себе индивидуального подхода и, следовательно, вместо одной универсальной формулы мы получим их целый пучок. Со временем мы проанализируем достоинства и недостатки Вашей формулы Коши (для определенного пространства поличисел) и формулы Гантмахера для произвольных числовых систем. Сейчас спорить на тему, чья формула лучше – несерьезно :) .

Time писал(а):

Вы правы только частично. Мнимая эллиптическая единица комплексных чисел действительно одна единственная, если под таковыми не понимать произведения вида:
$ij$, $ik$, $ijk$ и т.п., где $j,k, jk,..$ - гиперболические коммутирующие между собой единицы. То что $ij$, $ik$, $ijk$ - эллиптического типа единицы, легко проверить простым возведением в квадрат:
$(ij)^2=(ik)^2=(ijk)^2=-1$,
что верно хотя бы потому что
$(j)^2=(k)^2=(jk)^2=+1$.
Таким образом можно высказать следующее утверждение: если в алгебре невырожденных (без параболических единиц) поличисел размерности n есть хотя бы одна эллиптическая мнимаяя единица, эта алгебра четномерная и в ней поровну эллиптических и гиперболических мнимых единиц.

Независимость матричных единиц с похожими свойствами в заданном пространстве определяется очень просто. Достаточно приравнять их линейную комбинацию к нулю и посмотреть существуют ли решения с коэффициентами отличными от нуля. Однако линейно независимые матричные единицы могут быть эквивалентными. Т.е. два пространства, построенные на независимых эквивалентных матричных единицах, будут изоморфны. Поэтому можно говорить о классе эквивалентных матричных единиц. Если же Вы включаете две эквивалентные единицы в одно пространство, то тогда они уже перестают быть эквивалентными. Т.е. эквивалентность подразумевает раздельное использование (чтобы выйти на изоморфизм порожденных ими пространств и алгебр).

Что касается Вашего утверждения. Наличие конкретной единицы в пространстве поличисел само по себе практически ничего не означает. Важна именно замкнутая симметрическая таблица операций между независимыми (матричными) единицами и наличие в их линейной оболочке нейтральной единицы. А таких таблиц составить можно великое множество. Даже для пространства размерности три их будет несколько. А в общем случае их количество, скорее всего, пропорционально $n^2$. А как у этих алгебр будет обстоять вопрос о подпространствах делителей нуля, то это уже другое дело.

Time писал(а):

Это именно прямая сумма (я просто не умею рисовать плюс в кружочке). Эта алгебра коммутативная, а пространство ей соответствующее - линейное финслерово и преобразования, которые требуются совершить, что бы при помощи линейного преобразования перейти от компонент двух гармонически сопряженных функций от двух вещественных переменных, задающих аналитическую функцию на комплексной плоскости, к двум аналитическим функциям от одной вещественной переменной каждая на двойной плоскости - практически ничем не отличаются от того, что мы делали на самой плоскости двойной переменной, когда переходили от ортонормированного базиса к изотропному. Ну, разве что, последний не принадлежит самой комплекснойй плоскости и для перехода требуется исользование гиперболически мнимой единицы j, которой также нет на комплексной плоскости, зато все это имеется в четырехмерном гиперкомплексном расширении самого пространства комплексных чисел. Может, отчасти, именно этим и можно обосновать необходимость гиперкомплексного расширения $C$?

Плюс в кружочке это \oplus . Здесь на форуме есть краткие руководства по Tex’у и ссылки на справочники по нему в Интернете. Например, http://www.mccme.ru/free-books/llang/newllang.pdf .

Вы свое, а я свое :) . Эта алгебра – некоммутативная. Она может стать коммутативной, если Вы найдете матрицу (порядка двух), квадрат которой равен минус единице, а сама она симметрическая. Боюсь, что таких матриц не существует. Поэтому любая линейная оболочка, размерности выше двух, содержащая эллиптическую единицу, будет некоммутативной относительно операции умножения. А финслеровость этого образованного пространства может быть ему присвоена, а может быть и нет. Тогда получим некий вариант антифинслерового пространства :) . Думаю, что аналитичность в некоммутативной алгебре вряд ли эквивалентна аналитичности в коммутативной алгебре. Вот почему, Ваша идея относительно «мнимого изотропного базиса» в $\mathbb{C}$ мне не кажется очень продуктивной.

Time писал(а):

Вы не обратили внимание на то, как в такой новой интерпретации выглядят делители нуля двойных чисел? На мой взгляд вполне естественно и без заморочек псевдоеквлидовой плоскости. Возможно, эта вторая интерпретация, когда ни будь, поможет более наглядно понимать и тот факт, что мы с Вами и с Рустом обсуждаем уже не одну неделю, а именно: можно или нет аналитические функции от комплексных чисел представлять через пару аналитических функций от одной вещественной переменной каждая? А нового, чего изначально нет в комплексных числах - новая интерпретация, естественно, никогда дать не может. Только выявить уже имеющееся, но в силу разных обстоятельств, до поры до времени, неочевидное..

Ну, вполне естественно делители нуля выглядят как преобразования неполных нулей. Вашу новую интерпретацию интересно было бы обсуждать, если бы четырехмерное пространство, в котором можно было бы пытаться представить комплексные аналитические функции «через пару аналитических функций от одной вещественной переменной каждая» было бы коммутативным. Вы утверждаете, что это так. А я что нет, ибо эллиптическая и гиперболическая единицы не могут в одной линейной оболочке коммутировать между собой, по причине антикоммутативности: $i j = -j i$.

Time писал(а):

Может я и ошибаюсь. Вы правильно пишите, что нужно аккуратно все продемонстрировать. Но я не успеваю делать всего, что нужно было бы сделать. А ведь приходитсяя еще и деньги, причем не только для себя, где-то зарабатывать.

Естественно, никто никому ничего не должен. Занятие математикой в наше время, это роскошь, которую можно позволить себе, если есть свободное время, которое нечем занять, в смысле более интересным, чем математическое творчество. Однако ситуация может измениться, если поменяется круг интересов :) .

Time писал(а):

Числам $P_2$ соответствует геометрия полуэвклидовой плоскости, или двумерному пространству-времени Галилея. Метрическая функция на нем связана не с квадратичной формой, а с первыми степенями. Естественно, как и само пространство-время Галилея, эта алгебра имет свои приложения. Я против этого не возражаю. Я только предлагаю (и то больше себе) временно не трогать такие алгебры и соответствующие им пространства, во всяком случае, пока с невырожденными есть масса вопросов. Термин "вырожденности" совсем не обязательно воспринимать в отрицательном или ущербном смысле..

Для меня параболические числа $\mathbb{P}_2$ - всего лишь единственная неполупростая алгебра порядка два не изоморфная «прямой сумме полей». Этим и интересна. Т.е. она имеет (частично) собственную нетривиальную структуру, которой нет в $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$. «Не трогать» ее и другие неполупростые алгебры не получится, потому, что это необоснованно ограничит уровень исследования. А «невырожденные», в данном контексте, алгебры прямых сумм (полей), устроены очень просто и усложняются только за счет привлекаемой топологии. Но если нас интересует только топология, тогда нужно просто взять любое классическое пространство или прямую сумму таковых и «разбираться» с топологией на них. Все возможные алгебраические нюансы в «прямых суммах», о которых мы так много говорим, могут быть сосредоточенны только в операциях умножения и деления векторов из этих классическим образом образованных классических пространств. Согласитесь, этого очень мало для «больших целей». Поэтому Вы пытаетесь привлечь неклассическую топологию, а я, пока что, «разобраться» с неполупростыми коммутативными алгебрами.

Time писал(а):

Думаю, что стоит. Особенно если в процессе доказателства невозможности, Вы увидите прямо обратное, а именно возможность. :) Правда, необычную..

Я буду иметь это в виду. Возможно, что-то интересное удастся извлечь для аналитических функций из некоммутативного пространства, как линейной оболочки нейтральной, мнимой и гиперболической единиц.

Time писал(а):

Что Вы скажите на счет того, что таким свойством гиперболической потенциальности и гиперболической соленоидальности обладает самое обычное гравитационное поле, правда, не в обычном своем представлении через заряды (массы) гравитирующих частиц, а через характеристики точечных одиночных событий в пространстве-времени, каждое из которых создает вокруг себя (в двумерном псевдоевклидовом пространстве-времени или в финслеровом четырехмерном с метрикой $H_4$) удовлетворяющее гиперболической потенциальности и соленоидальности поле? Переход же к идеологии гравитирующих частиц возможет от этих точечных событий, если рассматривать континуальные распределения последних вдоль времениподобных мировых линий. Последнее наиболее актуально при переходе к четырехмерному финслерову пространству-времени.

Для меня это все не очевидно. Просто, Вы говорите в тех категориях, которыми я еще не «проникся» :) . Если у Вас есть готовый материал на эту тему, то я могу посмотреть. Однако, работа с финслеровой топологией требует хорошего ее понимания, чем я пока похвастаться не могу.

[bayak]

Scholium в сообщении #314621 писал(а):

Однако, работа с финслеровой топологией требует хорошего ее понимания, чем я пока похвастаться не могу.

Если под финслеровой топологией понимать топологию векторных полей, заданных в финслеровых пространствах, то тут есть где развернуться математикам, конструирующим физические аналогии. В этой связи замечу, что группа движений пространства Бервальда-Моора совпадает с группой движений 4-тора, где под движениями тора понимаются растяжения (сжатия) его задающих окружностей, которые сохраняют объём тора. Поэтому было бы интересно рассмотреть на предмет физических аналогий также и топологию векторных полей 4-тора.

[Time]

bayak в сообщении #314969 писал(а):

В этой связи замечу, что группа движений пространства Бервальда-Моора совпадает с группой движений 4-тора, где под движениями тора понимаются растяжения (сжатия) его задающих окружностей, которые сохраняют объём тора. Поэтому было бы интересно рассмотреть на предмет физических аналогий также и топологию векторных полей 4-тора.

Вы на удивление упорно не хотите взглянуть на одно чрезвычайно важное обстоятельство. Группа движений даже в пространствах с квадратичным типом метрики лишь ОДНА ИЗ ДВУХ групп фундаментальных преобразований. Кроме изометрических, есть еще и конформные преобразования. Попробуйте сравнить именно такие группы непрерывных симметрий на своем 4-торе и в четырехмерном пространстве Бервальда-Моора. Какая группа конформных преобразований на одном и какая на другом? Разницу чувствуете?
Про то, что в последнем пространстве, кроме изометрической и конформной групп, есть еще, минимум, парочка классов непрерывных симметрий, а на 4-торе в квадратичных пространствах их нет принципиально, можно пока не вспоминать. Скажите, почему Вы не рассматриваете наравне с группой движений конформную группу? Ведь если б такой подход культивировали на комплексной плоскости, из всех аналитических функций в ТФКП остались бы одни линейные. И что интересного тогда бы та собой представляла? Вы предлагаете в пространствах Бервальда-Моора сделать именно такую ампутацию? Лишь бы они стали похожи на квадратичные бедные на непрерывные симметрии пространства?

[Time]

Scholium в сообщении #314621 писал(а):

Мы переходим не в пространство, порожденное прямой суммой или , а в линейную оболочку простой суммы множеств
Легко проверить, что $ij=-ji$ , т.е. мы имеем некоммутатив!

Объясните пожалуйста, что Вас заставляет от двумерной евклидовой плоскости переходить именно к некоммутативному четырехмерному пространству? Да, такое существует, в нем действительно одна действительная единица, одна эллиптическая и две гиперболические. Такая алгебра рассмотрена у Розенфельда и носит название антикватернионов. Ей соответсвует геометрия псевдоеквлидова четырехмерного пространства с сигнатурой (+,+,-,-). Розенфельд называет данную алгебру антикватернионами. Ее группа вращений и таблица Кэли - некоммутативны. В ней есть делители нуля идругие связанные с ними прелести.

Чего я не могу в Вашей логике понять, так это, что мешает вместо пространства антикватернионов в качестве расширения комплексной плоскости рассматривать коммутативную алгебру ${C}\oplus{C}$? Да, можно рассматривать пространство антикватернионов, но можно же и пространство коммутативных бикомплексных чисел. В последнем случае тот плюс, что вращения здесь образуют абелеву трехпараметрическую группу и мы при помощи ее всегда можем на одних только поворотах перейти от любого единичного неизотропного вектора к любому такому же.

Scholium в сообщении #314621 писал(а):

Так что в коммутирующей алгебре размерности выше двух не могут присутствовать эллиптическая или параболическая единица, ни под каким соусом. Могут быть только единицы с симметрическими матрицами.

Вы ошибаетесь. Рассмотрите чуть более внимательно алгебру ${C}\oplus{C}$. В ней именно что две эллиптические мнимые единицы и они коммутируют друг сдругом, а также с действительной единицей и с одной гиперболически мнимой единицей.

Вас, вероятно, ввела в заблуждение процедура удвоения Кэли. Да, при помощи ее из комплексной алгебры или из двойной может быть получена некоммутативная алгебра антикватернионов. Но если к этому не стремится и, наоборот, сохранять коммутативность то переход к коммутативной алгебре ${C}\oplus{C}$ можно осуществить без всяких удвоений Кэли. Правда при этом результирующее пространство уже точно не будет с квадратичной метрикой (может это Вас сбивает с толку?), а станет финслеровым с неквадратичной метрической формой.

Scholium в сообщении #314621 писал(а):

Что касается Вашего утверждения. Наличие конкретной единицы в пространстве поличисел само по себе практически ничего не означает. Важна именно замкнутая симметрическая таблица операций между независимыми (матричными) единицами и наличие в их линейной оболочке нейтральной единицы. А таких таблиц составить можно великое множество. Даже для пространства размерности три их будет несколько. А в общем случае их количество, скорее всего, пропорционально . А как у этих алгебр будет обстоять вопрос о подпространствах делителей нуля, то это уже другое дело.

Таблиц умножения Кэли для четырехмерных пространств с коммутативными алгебрами имеющими нейтральную единицу и три коммутирующих мнимых - всего три (если не рассматривать алгебры с параболическими единицами). Выше я говорил об одной из этих трех.

Scholium в сообщении #314621 писал(а):

Вы свое, а я свое :) . Эта алгебра – некоммутативная. Она может стать коммутативной, если Вы найдете матрицу (порядка двух), квадрат которой равен минус единице, а сама она симметрическая. Боюсь, что таких матриц не существует.

Вы, кажется, путаете требование симметричности относительно главной диагонали матрицы представляющей собой таблицу умножения Кэли со свойством симметрии или антисимметрии относительно главной диагонали матрицы представления самих мнимых единиц алгебры. Таких квадратных матриц с антисимметричными свойствами соответствующими именно эллиптически мнимым единицам даже в случае четырехкомпонентных алгебр - далеко не одна. В частности, а влгебре ${C}\oplus{C}$ их две. Причем обе имеют вид именно не симметричных относительно главной диагонали матриц 4х4 (может Вы требовали, что бы матрицы были 2х2?). Если хотите, могу помучиться (трудно рисовать таблицы) и выписать обе соответствующие матрицы со всеми их компонентами. И, не смотря на свой несимметрический вид, произведения этих матриц, равно как и произведения с матрицами действительной и гиперболической мнимой единицей, будут коммутировать.

Scholium в сообщении #314621 писал(а):

Ну, вполне естественно делители нуля выглядят как преобразования неполных нулей. Вашу новую интерпретацию интересно было бы обсуждать, если бы четырехмерное пространство, в котором можно было бы пытаться представить комплексные аналитические функции «через пару аналитических функций от одной вещественной переменной каждая» было бы коммутативным.

Нет, нам определенно нужно поставить с этим недоразумением на счет некоммутативности алгебры ${C}\oplus{C}$ с ее двумя эллиптическими коммутирующими единицами точку. Если подтвердите, что сами не можете получить матричные формы представления этих обеих эллиптических единиц (матрицы при этом будут именно что несимметрическими 4х4) - готов буду их выписать сам.

Scholium в сообщении #314621 писал(а):

Я буду иметь это в виду. Возможно, что-то интересное удастся извлечь для аналитических функций из некоммутативного пространства,

Как только Вы переходите от коммутативного пространства к некоммутативному, в последнем исчезает бесконечномерная группа конформных преобразований, а вместе с нею и возможность рассматривать h-аналитические функции, которые были бы с этими преобразованиями связанны. Все другие определения аналитичности, именно что, другие (типа тех, о которых писал Садбери для кватернионов). А для содержательной геометрии помимо изометрической группы симметрий очень важна богатая конформная группа.

[bayak]

Time в сообщении #315434 писал(а):

Кроме изометрических, есть еще и конформные преобразования. Попробуйте сравнить именно такие группы непрерывных симметрий на своем 4-торе и в четырехмерном пространстве Бервальда-Моора. Какая группа конформных преобразований на одном и какая на другом? Разницу чувствуете?

Действительно интересно сравнить две эти группы. Если 4-тор считать образом, а пространство Б-М прообразом отображения накрытия, то допустимое этим отображением сужение конформных преобразований пространства Б-М и даст нам группу конформных преобразований 4-тора.

[Scholium]

Time писал(а):

Объясните пожалуйста, что Вас заставляет от двумерной евклидовой плоскости переходить именно к некоммутативному четырехмерному пространству? Да, такое существует, в нем действительно одна действительная единица, одна эллиптическая и две гиперболические. Такая алгебра рассмотрена у Розенфельда и носит название антикватернионов. Ей соответсвует геометрия псевдоеквлидова четырехмерного пространства с сигнатурой (+,+,-,-). Розенфельд называет данную алгебру антикватернионами. Ее группа вращений и таблица Кэли - некоммутативны. В ней есть делители нуля идругие связанные с ними прелести.

Я просто следую Вашей логике рассуждений, которую я понимаю так. В линейной оболочке $e \mathbb{R} + j \mathbb{R} = \mathbb{H}_2$ существует представление любой аналитической функции (в смысле условий Коши-Римана для гиперболических чисел) в виде суммы и разности двух произвольных (в том числе и для бесконечно дифференцируемых) функций. Мы желаем найти похожее представление и в линейной оболочке $e \mathbb{R} + i \mathbb{R} = \mathbb{C}$ эллиптических (комплексных) чисел. Проще всего это сделать, взяв совместную линейную оболочку $<\mathbb{H}_2 + \mathbb{C}>~= e \mathbb{R} + i \mathbb{R} + j \mathbb{R} + i j \mathbb{R}$. Правая часть будет замкнутой относительно входящих в нее независимых единиц из $\mathbb{H}_2$ и $\mathbb{C}$, поэтому угловые скобки линейной оболочки мы там опускаем. В результате в этом объединенном пространстве можно попытаться сделать поворот из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{H}_2$, разложить там аналитическую функцию на сумму и разность двух функций и затем снова вернуться в $\mathbb{C}$ обратным поворотом. Все это, однако, хорошо, если бы не антикоммутативность единиц $i$ и $j$, которые могут повести себя непредсказуемым образом при соответствующем повороте. Хотя может быть эта антикоммутативность потом взаимным образом аннулируется. По любому этот фрагмент исследования можно включить в нашу совместную статью. А какой результат там будет, положительный или отрицательный – тогда и посмотрим :) . Что касается прямой суммы $\mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$, то, во-первых, здесь нет очевидного способа предлагаемого Вами преобразования, а, во-вторых, я не вижу смысла привлекать альтернативное комплексное пространство (что это может дать в прямой сумме?), достаточно ограничиться первым экземпляром $\mathbb{C}$ и делать все преобразования там. А то что, скорее всего, никакое преобразование $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$ не даст требуемого эффекта, я практически не сомневаюсь, но готов поискать доказательства этого.

Time писал(а):

Чего я не могу в Вашей логике понять, так это, что мешает вместо пространства антикватернионов в качестве расширения комплексной плоскости рассматривать коммутативную алгебру ${C}\oplus{C}$? Да, можно рассматривать пространство антикватернионов, но можно же и пространство коммутативных бикомплексных чисел. В последнем случае тот плюс, что вращения здесь образуют абелеву трехпараметрическую группу и мы при помощи ее всегда можем на одних только поворотах перейти от любого единичного неизотропного вектора к любому такому же.

Эта алгебра коммутативная, но оба пространства $\mathbb{C}$ действуют независимо друг от друга, т.е. $(z_1, w_1) \pm (z_2, w_2) = (z_1 \pm z_2, w_1 \pm w_2)$; $(z_1, w_1) (z_2, w_2) = (z_1 z_2, w_1 w_2)$; $\frac{(z_1, w_1)}{(z_2, w_2)} = (\frac{z_1}{z_2}, \frac{w_1}{w_2})$, $\forall~(z_1, w_1),~(z_2, w_2) \in \mathbb{C}^2 = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} = \mathbb{C} \otimes \mathbb{C}$, $(z_2, w_2) \neq (0,0) = 0$. «Объединятся» эти пространства только после ввода в них некоторой общей метрики. А вращения там только замаскируют факт «нечувствительности» одного пространства от другого. Поэтому я абсолютно не вижу никаких преимуществ пары комплексных чисел перед одним, до тех пор, пока мы не определим некоторую общую топологию в них.

Time писал(а):

Вы ошибаетесь. Рассмотрите чуть более внимательно алгебру ${C}\oplus{C}$. В ней именно что две эллиптические мнимые единицы и они коммутируют друг сдругом, а также с действительной единицей и с одной гиперболически мнимой единицей.

Эти «две эллиптические мнимые единицы» совершенно одинаковы, но они не взаимодействуют между собой, так как при прямом произведении или прямой сумме, оба пространства не «видят» друг друга и работают «сами оп себе». В терминах линейной оболочки $\mathbb{C}^2 = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} = \mathbb{C} \otimes \mathbb{C} = e_1 \mathbb{C} + e_2 \mathbb{C}$, причем $(e_1 z_1 + e_2 w_1) (e_1 z_2 + e_2 w_2) = e_1 z_1 z_2 + e_2 w_1 w_2$, откуда следует, что $e_1^2 = e_1$, $e_2^2 = e_2$, $e_1 e_2 = e_2 e_1 = 0$ (*). Беря линейную оболочку $\mathbb{C} = e \mathbb{R} + i \mathbb{R}$, получаем $\mathbb{C}^2 = e_1 (e \mathbb{R} + i \mathbb{R}) + e_2 (e \mathbb{R} + i \mathbb{R}) = e_1 \mathbb{R} + e_1 i \mathbb{R} + e_2 \mathbb{R} + e_2 i \mathbb{R}$. Мы здесь опускаем нейтральную единицу $e$. Легко подобрать матрицы для $e_1$ и $e_2$, удовлетворяющих требуемым соотношениям (*), например, $e_1 = \left ( \begin{array}{l} 1,~~0 \\ 0,~~0 \end{array} \right ),~~~~e_2 = \left ( \begin{array}{l} 0,~~0 \\ 0,~~1 \end{array} \right )$. Матрица $i = \left ( \begin{array}{l} 0,~~~1 \\ -1,~~0 \end{array} \right )$. Отсюда находим, что $e_1 i \neq i e_1$, $e_2 i \neq i e_2$, но $e_1 i = i e_2$ и $i e_1 = e_2 i$, а также, что $(e_1 i)^2 = (i e_1)^2 = (e_2 i)^2 = (i e_2)^2 = 0$. Аналогично находим произведения любых других комбинаций. Однако уже достаточно очевидно, что «две эллиптические мнимые единицы» НЕ «коммутируют друг с другом» и даже не антикоммутируют!

Таким образом, используя линейную оболочку алгебраических пространств, мы можем добиться взаимодействия «двух эллиптических мнимых единиц», однако они ведут себя совсем не так, как может быть, хотелось бы.

Time писал(а):

Вас, вероятно, ввела в заблуждение процедура удвоения Кэли. Да, при помощи ее из комплексной алгебры или из двойной может быть получена некоммутативная алгебра антикватернионов. Но если к этому не стремится и, наоборот, сохранять коммутативность то переход к коммутативной алгебре ${C}\oplus{C}$ можно осуществить без всяких удвоений Кэли. Правда при этом результирующее пространство уже точно не будет с квадратичной метрикой (может это Вас сбивает с толку?), а станет финслеровым с неквадратичной метрической формой.

Процедуру удвоения я совершенно не использую! Использую только линейную оболочку, в которой результирующая размерность может быть любым натуральным числом, а не только степенью двойки. Топологию и метрику я также пока не использую, кроме метрики и топологии прямой суммы и то только в вычислении интеграла типа Коши для $\mathbb{H}_2$.

На остальную часть сообщения отвечу чуть позже.

[Time]

bayak в сообщении #315616 писал(а):

Действительно интересно сравнить две эти группы. Если 4-тор считать образом, а пространство Б-М прообразом отображения накрытия, то допустимое этим отображением сужение конформных преобразований пространства Б-М и даст нам группу конформных преобразований 4-тора.

Лучше прекращайте заниматься софистикой, а просто сосчитайте, сколько конкретно независимых параметров имеется у конформной группы 4-тора (можете воспользоваться теоремой Лиувилля, перечисляющей все типы конформных преобразований пространств с квадратичным типом метрической функции и с числом измерений выше двух). Про конформную группу четырехмерного пространства с метрикой Бервальда-Моора я Вам и сам скажу, он бесконечномерная, но 4-тору это ровно никак не поможет в его собственной группе конформных симметрий. Теоремы вещь упрямая..

[bayak]

Time в сообщении #315648 писал(а):

Лучше прекращайте заниматься софистикой, а просто сосчитайте, сколько конкретно независимых параметров имеется у конформной группы 4-тора (можете воспользоваться теоремой Лиувилля, перечисляющей все типы конформных преобразований пространств с квадратичным типом метрической функции и с числом измерений выше двух).

Но я не знаю, что такое конформная группа 4-тора, и поэтому не понимаю как мне её считать.

[Time]

Time в сообщении #315648 писал(а):

Что касается прямой суммы ${C}\oplus{C}$, то, во-первых, здесь нет очевидного способа предлагаемого Вами преобразования, а, во-вторых, я не вижу смысла привлекать альтернативное комплексное пространство (что это может дать в прямой сумме?), достаточно ограничиться первым экземпляром и делать все преобразования там.

А зачем стремиться к очевидному способу реализации предлагаемого мною преобразования? Каким бы сомнительным ни казалось мое предложение, оно основывается именно на знании алгебры и метрики пространства ${C}\oplus{C}$.
Хотя можно привести и утверждения, делающие предлагаемое преобразование на много более очевидным. Обратите внимание, что алгебра ${C}\oplus{C}$ изоморфна любой из трех алгебр: $H_2(C), C(H_2)$ или $C(C)$. В отношении первых двух есть упоминания у Розенфельда в книге 2003 года "Геометрия групп Ли" в параграфе коммутативные ассоциативные алгебры. В отношении изоморфизма третьего варианта - у него, кажется нет, но тут не сложно и самому догадаться.
В отношении обсуждаемого Вами пространства, связанного с линейной оболочкой и некоммутирующими мнимыми единицами, я никаких утверждений не делал и уверен в обратном, тут ничего подобного разложению аналитической функции на две аналитические функции от одной вещественной переменной каждая - даже принципиально быть не может. Хотя бы потому, что аналитических или $h$-аналитических функций, устроенных по образу и подобию таковых над $C$ и $H_2$, тут почти не существует. Самые сложные из таких функций - дробнолиненйные, а этого слишком мало, что бы говорить о разложении всех аналитических функций комплексной переменных, коих несравнимо больше. В любом случае, идти через ТАКУЮ алгебру я никогда не предлагал и не предложу.

Scholium в сообщении #315621 писал(а):

А то что, скорее всего, никакое преобразование $C$ в $C$ не даст требуемого эффекта, я практически не сомневаюсь, но готов поискать доказательства этого.

Хорошо, что не смотря на уверенность в обратном, Вы готовы поискать, либо доказательства своей позиции, либо обнаружить неожидаемое. Одна просьба, когда будете искать, не ограничивайтесь преобразованиями из группы непрерывных вращений (так как с их помощью неизотропные вектора никогда не переходят в изотропные), а ищите среди множества всех линейных преобразований (на плоскости $H_2$ - именно такое преобразование и приводит "нужному" результату).

Scholium в сообщении #315621 писал(а):

«Объединятся» эти пространства только после ввода в них некоторой общей метрики. А вращения там только замаскируют факт «нечувствительности» одного пространства от другого. Поэтому я абсолютно не вижу никаких преимуществ пары комплексных чисел перед одним, до тех пор, пока мы не определим некоторую общую топологию в них.

Не знаю, как доходчивым для Вас языком объяснить, но на алгебре ${C}\oplus{C}$, коли на ней уже определены три бинарные операции, а именно: сложение, умножение на скаляр и умножение числа на число - метрика оказывается заданной АВТОМАТИЧЕСКИ. Похоже, именно это и напрягает меня постоянно в Вашей регулярной путанице пространств $H_2$ и $R^2$. Последнее пространство, до тех пор пока Вы не "назначите" ему какую-то метрику - остается просто аффинным пространством. А метрику Вы можете приписать ему чуть ли не произвольную. А вот на $H_2$ метрика уже задана, так как в отличие от $R^2$ здесь заранее определены не только операции сложения и умножения на скаляр, но и произведение двух произвольных пар чисел. А вместе с метрикой автоматически (а не руками как Вы с Рустом, похоже, полагаете) с данным пространством оказывается связанной именно его "родная" топология. Тоже самое имеется и на алгебре комплексных чисел (или Вы полагаете, что на ней мы можем задать любые метрику и топологию "от балды"?). И точно также дела обстоят с любой коммутативной и ассоциативной алгеброй поличисел, в том числе и c ${C}\oplus{C}$. Метрика на ней появляется вместе с таблицей умножения, которая постулируется и отличает соответствующую алгебру от любой другой.

Scholium в сообщении #315621 писал(а):

Эти «две эллиптические мнимые единицы» совершенно одинаковы, но они не взаимодействуют между собой, так как при прямом произведении или прямой сумме, оба пространства не «видят» друг друга и работают «сами оп себе».

Я, кажется, наконец увидел причины нашего взаимного непонимания в вопросе о коммутирующих (некоммутирующих) эллиптически мнимых единицах. Вы их рассматриваете как матрицы 2х2, а я и Гарасько для такой алгебры как ${C}\oplus{C}$ как метрицы 4х4! Естественно, что в "Вашем" представлении ТАКАЯ эллиптическая единица могла быть только одна, тогда как в "нашем" много и они вполне коммутируют между собой и с гиперболическими мнимыми единицами, также, кстати, представляемыми матрицами 4х4. Перейти от "Вашей" 2х2 матрицы к "нашим" двум 4х4 в изотропном базисе довольно легко. Нужно просто поставить "Вашу" в левый верхний угол матрицы 4х4 состоявшей до этого из одних нулей, а для получения второй мнимой единицы, коммутирующей с первой, поставить в правый нижний угол нулевой матрицы 4х4. Если после этого перейти из изотропного базиса в "ортонормированный", то появятся те две эллиптические мнимые единицы, о которых говорил выше я. В отличие от "Ваших" мнимых единиц, у которых в смысле четырехмерной финслеровой метрики - нулевой модуль, то есть, они связаны с изотропными векторами этого четырехмерного пространтсва, у "моих" в смысле этой метрики самые настоящие единичные модули. То есть, мы с самого начала говорили о РАЗНЫХ эллиптических единицах четырехмерного финслерова пространства, связанного с алгеброй ${C}\oplus{C}$.

Вы также не правы, когда пишите, что

Цитата:

..оба пространства не «видят» друг друга и работают «сами по себе».

Постулированный закон произведения элементов, представленных В ЛЮБОМ базисе, а не только в изотропном (в котором, собственно только и происходит разделение на две вроде бы как независимые алгебры) связывает все пространство в единое целое и на нем именно благодаряя этой связи имеется все объединяющая финслерова метрика, причем одна единственная, а не какую Вы захотите этому пространству приписать. Мы с Гарасько слишком давно работаем с такими пространствами, что бы "лохануться" в таком вопросе..
На сколько я помню, в своей книге Гарасько доказывает теорему, согласно которой все алгебры невырожденных поличисел размерности три и выше (а тут работает известная Вам теорема Вейерштрасса) оказываются естественным образом связанными с конкретными метриками финслеровыми метриками, точно также как алгебра комплексных чисел естественным образом связана с евклидовой метрикой. Произвола тут нет никакого..

Scholium в сообщении #315621 писал(а):

Таким образом, используя линейную оболочку алгебраических пространств, мы можем добиться взаимодействия «двух эллиптических мнимых единиц», однако они ведут себя совсем не так, как может быть, хотелось бы.

Мне кажется, что основная причина обсуждаемого недоразумения связана с тем, что Вы идете от конструкции прямой суммы, а мы с Гарасько (так уж исторически сложилось) шли от таблицы умножения выраженной не в изотропном базисе, а в "ортонормированном". Естественно, что свойства чисел от базиса не зависят, но восприятие их существенно меняется в зависимости от того, с какой таблицы умножения и в каком базисе начинаешь ими заниматься.

Scholium в сообщении #315621 писал(а):

Процедуру удвоения я совершенно не использую! Использую только линейную оболочку, в которой результирующая размерность может быть любым натуральным числом, а не только степенью двойки. Топологию и метрику я также пока не использую,

Вот в последней фразе, похоже, и кроется причина столь затянувшегося недоразумения. Как только задано правило умножения ВСЕХ пар чисел (а оно задано, как только мы записали, что алгебра изоморфна ${C}\oplus{C}$), а не только внутри подалгебр, являющихся элементами прямой суммы, на всем n-мерном пространстве - у нас появляется и конкретная метрика, и конкретная топология (с последним, может, все обстоит и сложнее, но метрика появляется точно и это доказано). Причем вместе с этой метрикой автоматически оказываются заданными и группы симметрий, причем не только обычно понимаемых под этим термином изометрических и конформных преобразований, сохраняющих длины и углы, но и более сложные, имеющие под собой очень непривычные чисто финслеровские метрические инварианты. Не стой всего этого за алгеброй ${C}\oplus{C}$ АВТОМАТИЧЕСКИ, думаю, ей было бы совершенно не интересно заниматься. Но именно этого Вы ее и стараетесь так усиленно лишить. :)

-- Вт май 04, 2010 23:50:42 --

bayak в сообщении #315656 писал(а):

Но я не знаю, что такое конформная группа 4-тора, и поэтому не понимаю как мне её считать.

Я честно говоря - тоже. :)
Можно попробовать в лоб, понимая, что конформными являются все линейные и нелинейные преобразования пространства, переводящие его в самого себя, так что бы сохранались углы между произвольными парами пересекающихся кривых. Боюсь только это будет как из пушки по воробьям.. Можно еще как я и говорил выше воспользоваться теоремой Лиувилля, констатирующей, что все конформные преобразования квадратичных пространтсв с числом измерений три и выше полностью исчерпываются группой движений этого пространства, однопараметрической группой дилатаций (это обычные растяжения или сжатия) и группой инверсий относительно сфер. У 4-тора, на сколько я понимаю, под сферами нужно понимать гиперповерхности (то есть, трехмерные поверхности) все точки которых отстоят от некой фиксированной точки на равные по величине длины геодезических. Поскольку таких сфер 4-параметрическое множество, значит, к группе движений 4-тора нужно добавить 1-параметрическую группу дилатаций и 4-параметрическую группу инверсий относительно сфер. Все.. Больше конформных преобразований на торе быть не может. Ну, разве что, Вы докажите ложность теоремы Лиувилля..

[Scholium]

Time писал(а):

Таблиц умножения Кэли для четырехмерных пространств с коммутативными алгебрами имеющими нейтральную единицу и три коммутирующих мнимых - всего три (если не рассматривать алгебры с параболическими единицами). Выше я говорил об одной из этих трех.

Подробный анализ конечномерных коммутативных алгебр это вопрос их классификации, которую надо провести, хотя бы для трехмерного и четырехмерного случаев. Однако таблицы умножения и прямые суммы могут не соответствовать друг другу. Когда разговор будет идти в терминах матричных единиц и линейных оболочек, то, как следствие, мы будем получать и таблицы умножения (коммутативные матрицы всех единиц, при $n >2$, симметрические и избегать двусмысленности и неопределенности.

Time писал(а):

Вы, кажется, путаете требование симметричности относительно главной диагонали матрицы представляющей собой таблицу умножения Кэли со свойством симметрии или антисимметрии относительно главной диагонали матрицы представления самих мнимых единиц алгебры. Таких квадратных матриц с антисимметричными свойствами соответствующими именно эллиптически мнимым единицам даже в случае четырехкомпонентных алгебр - далеко не одна. В частности, а влгебре ${C}\oplus{C}$ их две. Причем обе имеют вид именно не симметричных относительно главной диагонали матриц 4х4 (может Вы требовали, что бы матрицы были 2х2?). Если хотите, могу помучиться (трудно рисовать таблицы) и выписать обе соответствующие матрицы со всеми их компонентами. И, не смотря на свой несимметрический вид, произведения этих матриц, равно как и произведения с матрицами действительной и гиперболической мнимой единицей, будут коммутировать.

Из симметричности матричных единиц следует симметричность их таблиц умножения при $n > 2$(так как симметрические матрицы коммутируют). При $n = 2$ можно использовать одну несимметрическую единицу, поскольку ей кроме как с нейтральной единицей не с кем «общаться» :) , сохраняя при этом симметричность таблицы умножения. Естественно, что в частных случаях две несимметрические матричные единицы могут коммутировать, но вряд ли можно добиться, чтобы три несимметрические матричные единицы второго порядка попарно коммутировали между собой. Т.е. симметричность матричных единиц это достаточное условие для симметричности таблицы умножения и коммутативности алгебры, но строго говоря, не необходимое. Однако, опять таки, имея матричное представление независимых единиц очень легко показать коммутативность или некоммутативность как таблицы умножения так и самой алгебры.

Насчет алгебры $\mathbb{C}^2 = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} = \mathbb{C} \otimes \mathbb{C}$. Здесь у нас явно неразбериха. Строго говоря, в прямой сумме или прямом произведении мы не можем пользоваться матричным представлением для общего пространства, так как в общем пространстве все независимые единицы могут взаимодействовать между собой, а в прямой сумме – нет. Ибо в прямом произведении пространства не «замечают» друг друга, не «чувствуют» друг друга и «живут» так, как будто они одни единственные на всем белом свете. Аналогия, приложения в мультизадачной операционной системе. Каждая программа «думает», что только она одна взаимодействует с операционкой и то, что это не так, знает только внешний наблюдатель. Однако мы можем пользоваться вложением прямой суммы в линейную оболочку исходных пространств, т.е., по сути, получаем более широкое пространство, чем прямая сумма множеств, при условии сохранения алгебры прямой суммы. Иначе говоря, от алгебры прямой суммы мы переходим к надалгебре линейной оболочки исходных пространств, с сохранением всех свойств первой. Вот строгая запись для прямой суммы двух комплексных плоскостей:

$\mathbb{C}^2 \subset~<e_1 \mathbb{C} + e_2 \mathbb{C}>$, (*)

где угловые скобки обозначают линейную оболочку (множество всех линейных комбинаций) векторов, входящих в исходные пространства. Здесь независимые единицы $e_1$ и $e_2$ используются для того, чтобы сохранить все свойства прямого произведения. А именно:

$e_1^2 = e_1$, $e_2^2 = e_2$, $e_1 e_2 = e_2 e_1 = 0$. (**)

При этих условиях алгебраические операции в прямой сумме эквивалентны соответствующим алгебраическим операциям в линейной оболочке тех же исходных пространств. Однако при этом доступны еще операции, которые недоступны в прямой сумме, например, $(e_1 i) (e_2 i)$ и $(e_2 i) (e_1 i)$. В таком случае, оба исходных пространства уже «видят» друг друга. Потому если мы говорим об умножении различных единиц прямой суммы между собой, то неявно имеем в виду надалгебру линейной оболочки исходных пространств, причем иногда даже без сохранения свойств вложенного подпространства прямой суммы.

На самом деле, в правой части (*) угловые скобки можно опустить, так как сумма двух входящих туда множеств замкнута относительно всех алгебраических операций над своими векторами. Заметим, кстати, что сумма вида:

$<\mathbb{C} + \mathbb{C}>~\,\,= \mathbb{C} + \mathbb{C} = \mathbb{C}$.

Естественно, что матричные представления для $e_1$ и $e_2$ могут быть различны, но все они будут принадлежать одному классу эквивалентности, заданным условиями вида (**). Другие свойства этих матриц, в том числе, их размерность роли, для наших целей, не играют. Однако, нет смысла пользоваться матрицами четвертого порядка, когда для выполнения (**) достаточно матриц второго порядка. В прошлом сообщении я уже демонстрировал их простейшее представление.

Возможно, Вы неявно имеете в виду другую надалгебру, включающую прямую сумму двух комплексных пространств. Тогда желательно продемонстрировать вложение их прямой суммы (условия вида (**)) в искомую линейную оболочку пространств этой надалгебры. Это можно сделать по аналогии с кодом этого фрагмента взятого из окна цитирования (удалив все открывающие и закрывающие теги [ math ]). Ну и показать матрицу умножения всех независимых единиц.

А вот мои матрицы и таблица умножения.

Пусть $i_1 = e_1 i = \left ( \begin{array}{rr} 1, & 0 \\ 0, & 0 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{rr} 0, & 1 \\ -1, & 0 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{rr} 0, & 1 \\ 0, & 0 \end{array} \right )$, $i_2 = e_2 i = \left ( \begin{array}{rr} 0, & 0 \\ 0, & 1 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{rr} 0, & 1 \\ -1, & 0 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{rr} 0, & 0 \\ -1, & 0 \end{array} \right )$.

Тогда (*) можно записать как

$\mathbb{C}^2 \subset~<e_1 \mathbb{C} + e_2 \mathbb{C}> = e_1 \mathbb{C} + e_2 \mathbb{C} = e_1 (e \mathbb{R} + i \mathbb{R}) + e_2 (e \mathbb{R} + i \mathbb{R})$

или

$\mathbb{C}^2 \subset e_1 \mathbb{R} + i_1 \mathbb{R} + e_2 \mathbb{R} + i_2 \mathbb{R}$

(нейтральную единицу мы опускаем). Теперь легко продемонстрировать матрицу умножения:

$\begin{tabular}{c|c|c|c|c} \text{ } & e_1 & e_2 & i_1 & i_2 \\ e_1 & e_1 & 0 & i_1 & 0 \\ e_2 & 0 & e_2 & 0 & i_2 \\ i_1 & 0 & i_1 & 0 & -e_1 \\ i_2 & i_2 & 0 & -e_2 & 0 \end{tabular}$

Т.е. мы видим, что надалгебра уже не будет коммутативной, но ее подалгебра прямой суммы будет коммутативной. Кстати, отсюда следует, что нейтральная единица $e = e_1 + e_2$ и мнимая единица $i = i_1 + i_2$.

Если же Ваша надалгебра включает алгебру прямого произведения, оставаясь при этом коммутативной, но будет интересно посмотреть схему ее построения вместе с матрицами независимых единиц.

Time писал(а):

Нет, нам определенно нужно поставить с этим недоразумением на счет некоммутативности алгебры ${C}\oplus{C}$ с ее двумя эллиптическими коммутирующими единицами точку. Если подтвердите, что сами не можете получить матричные формы представления этих обеих эллиптических единиц (матрицы при этом будут именно что несимметрическими 4х4) - готов буду их выписать сам.

Согласен, похоже мы понимаем разные алгебры прямой суммы. Поэтому будет неплохо, если Вы выпишите свои матрицы независимых единиц (по аналогии с моими записями). Но так ли необходимо, чтобы они были именно четвертого порядка? И каковы их характеристические свойства? У меня это условия (**), а у Вас? И выполняются ли для Ваших матричных единиц операции алгебры прямой суммы? :

$(z_1, w_1) \pm (z_2, w_2) = (z_1 \pm z_2, w_1 \pm w_2)$; $(z_1, w_1) (z_2, w_2) = (z_1 z_2, w_1 w_2)$; $\frac{(z_1, w_1)}{(z_2, w_2)} = (\frac{z_1}{z_2}, \frac{w_1}{w_2})$, $\forall~(z_1, w_1),~(z_2, w_2) \in \mathbb{C}^2 = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} = \mathbb{C} \otimes \mathbb{C}$, $(z_2, w_2) \neq (0,0) = 0$.

Time писал(а):

Как только Вы переходите от коммутативного пространства к некоммутативному, в последнем исчезает бесконечномерная группа конформных преобразований, а вместе с нею и возможность рассматривать h-аналитические функции, которые были бы с этими преобразованиями связанны. Все другие определения аналитичности, именно что, другие (типа тех, о которых писал Садбери для кватернионов). А для содержательной геометрии помимо изометрической группы симметрий очень важна богатая конформная группа.

Ну, к этим деталям мы еще вернемся, когда я закончу с алгеброй и займусь преобразованиями и топологией, но что-то мне кажется, что подобная «богатая конформная группа» может быть привлеченной в $\mathbb{R}^n$.

[bayak]

Time в сообщении #315675 писал(а):

Можно попробовать в лоб, понимая, что конформными являются все линейные и нелинейные преобразования пространства, переводящие его в самого себя, так что бы сохранались углы между произвольными парами пересекающихся кривых. Боюсь только это будет как из пушки по воробьям..

Ну почему же, как раз так и надо. Но надо иметь ввиду, что касательное к 4-тору пространство в каждой его точке это пространство Б-М, а следовательно надо требовать сохранения не углов а полиуглов.

Time в сообщении #315675 писал(а):

Можно еще как я и говорил выше воспользоваться теоремой Лиувилля

А так не надо.

[Scholium]

Time писал(а):

А зачем стремиться к очевидному способу реализации предлагаемого мною преобразования? Каким бы сомнительным ни казалось мое предложение, оно основывается именно на знании алгебры и метрики пространства ${C}\oplus{C}$.

Хотя бы потому, что я не знаю неочевидного способа :) . А в $\mathbb{C}^2$ Вы вкладываете явно больший смысл, чем я.

Time писал(а):

Хотя можно привести и утверждения, делающие предлагаемое преобразование на много более очевидным. Обратите внимание, что алгебра ${C}\oplus{C}$ изоморфна любой из трех алгебр: $H_2(C), C(H_2)$ или $C(C)$. В отношении первых двух есть упоминания у Розенфельда в книге 2003 года "Геометрия групп Ли" в параграфе коммутативные ассоциативные алгебры. В отношении изоморфизма третьего варианта - у него, кажется нет, но тут не сложно и самому догадаться.

Не думаю, что все так просто. По крайней мере, я бы не поленился выписать определения этих трех пространств. Я выскажу свои соображения, но они могут не совпасть с Вашими. Согласно ЛШ, определение $\mathbb{H}_2(\mathbb{R})$ равносильно следующему определению:

Пусть $M_2(\mathbb{R})$– множество матриц второго порядка с вещественными коэффициентами. Рассмотрим алгебру гиперболических чисел $\mathbb{H}_2(\mathbb{R}) = e \mathbb{R} + j \mathbb{R} = \{ e x + j y \in M_2(\mathbb{R}) | e,~j \in M_2(\mathbb{R}), \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 \}$, при условии, что матричные единицы $e$ и $j$ удовлетворяют соотношениям

$e^2 = e,~~j^2 = e,~~e j = j e = e$. (1)

Очевидно, $e$ это обычная матричная (нейтральная) единица, а $j$– любая подходящая матрица, например

$e = \left ( \begin{array}{l} 1,~~0 \\ 0,~~1 \end{array} \right ),~~~~j = \left ( \begin{array}{l} 0,~~1 \\ 1,~~0 \end{array} \right )$ либо $\tilde{j}=\left ( \begin{matrix} 1,~~~~0 \\ 0,~~-1 \end{matrix} \right )$. (2)

Легко убедиться, что они удовлетворяют требованиям (1). Следовательно, $j$ и $\tilde{j}$ эквивалентны между собой, т.е. $j \sim \tilde{j}$.

Совершенно по аналогии можно построить

$\mathbb{H}_2(\mathbb{C}) = e \mathbb{C} + j \mathbb{C} = \{ e z + j w \in M_2(\mathbb{C}) | e,~j \in M_2(\mathbb{R}), \forall (z, w) \in \mathbb{C}^2$.

Но $\mathbb{C} = e \mathbb{R} + i \mathbb{R}$, где $i = \left ( \begin{array}{l} ~~0,~~1 \\ -1,~~0 \end{array} \right )$, причем $i^2 = -e$, а $e$ можно отождествить с единицей 1. Отсюда следует, что $\mathbb{H}_2(\mathbb{C}) = e \mathbb{R} + i \mathbb{C} + j \mathbb{C}+ j i \mathbb{C}$, а матрица единицы $j\,i$ легко вычисляется. Также видно, что $\mathbb{H}_2(\mathbb{C})$ это некоммутативная алгебра и потому не может совпадать с $\mathbb{C}^2 = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$. Заметим, что в данном случае, в определении $\mathbb{H}_2$ и $\mathbb{C}$ нет прямых сумм, поэтому речь идет не о вложении, а точном равенстве линейной оболочке.

В Вашем представлении $\mathbb{C}(\mathbb{C})$ - явная двусмысленность. Если использовать аналогичную конструкцию линейной оболочки для тождественных мнимых единиц, то получим $\mathbb{C}(\mathbb{C}) = \mathbb{C}$, а если для различных мнимых единиц, то выйдем на процедуру удвоения комплексных чисел и получим в итоге тело кватернионов.

Так что очень желательно всегда приводить определения (свои или чьи-то, неважно) конструкций, которые могут вызвать двусмысленность. Я показал свои определения и ожидаю Ваших. Наверняка они будут отличаться. Тогда уже будем решать, чье определение «лучше» :) .

Time писал(а):

$h$-аналитических функций, устроенных по образу и подобию таковых над $C$ и $H_2$, тут почти не существует. Самые сложные из таких функций - дробнолиненйные, а этого слишком мало, что бы говорить о разложении всех аналитических функций комплексной переменных, коих несравнимо больше. В любом случае, идти через ТАКУЮ алгебру я никогда не предлагал и не предложу.

Вот, лишний повод думать, что в линейной оболочке $<\mathbb{C} + \mathbb{H}_2>$ никакими поворотами комплексные аналитические функции не разложить на сумму и разность двух функций от одной переменной :) . А с пространством $\mathbb{C}^2 = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$ у нас явные непонятки. Выясним Ваше определение его и тогда будем думать дальше :) .

Time писал(а):

Scholium писал(а):

А то что, скорее всего, никакое преобразование $C$ в $C$ не даст требуемого эффекта, я практически не сомневаюсь, но готов поискать доказательства этого.

Хорошо, что не смотря на уверенность в обратном, Вы готовы поискать, либо доказательства своей позиции, либо обнаружить неожидаемое. Одна просьба, когда будете искать, не ограничивайтесь преобразованиями из группы непрерывных вращений (так как с их помощью неизотропные вектора никогда не переходят в изотропные), а ищите среди множества всех линейных преобразований (на плоскости $H_2$ - именно такое преобразование и приводит "нужному" результату).

Насколько я помню, пространство всех линейных операторов непрерывно по норме этих операторов. А группа вращений это всего лишь подмножество этого пространства, только и всего. Ну да ладно, со временем придем к определенному выводу.

Time писал(а):

Не знаю, как доходчивым для Вас языком объяснить, но на алгебре ${C}\oplus{C}$, коли на ней уже определены три бинарные операции, а именно: сложение, умножение на скаляр и умножение числа на число - метрика оказывается заданной АВТОМАТИЧЕСКИ. Похоже, именно это и напрягает меня постоянно в Вашей регулярной путанице пространств $H_2$ и $R^2$. Последнее пространство, до тех пор пока Вы не "назначите" ему какую-то метрику - остается просто аффинным пространством. А метрику Вы можете приписать ему чуть ли не произвольную. А вот на $H_2$ метрика уже задана, так как в отличие от $R^2$ здесь заранее определены не только операции сложения и умножения на скаляр, но и произведение двух произвольных пар чисел. А вместе с метрикой автоматически (а не руками как Вы с Рустом, похоже, полагаете) с данным пространством оказывается связанной именно его "родная" топология. Тоже самое имеется и на алгебре комплексных чисел (или Вы полагаете, что на ней мы можем задать любые метрику и топологию "от балды"?). И точно также дела обстоят с любой коммутативной и ассоциативной алгеброй поличисел, в том числе и c ${C}\oplus{C}$. Метрика на ней появляется вместе с таблицей умножения, которая постулируется и отличает соответствующую алгебру от любой другой.

Еще один спорный вопрос, по которому мы наверное долго не найдем общих точек соприкосновения :) . Как определяется метрическое (нормированное) пространство? Берем произвольное векторное пространство и «назначаем» ему определенную метрику (норму). А то, что Вы описываете, как три операции – метрику не задают. Метрика это всегда привлеченная операция, которая фактически постулируется для данного метрического пространства. Например, возьмем эвклидову плоскость или пространство $\mathbb{R}^2$. Как прямое произведение оно имеет метрику двух экземпляров $\mathbb{R}$, которая этим $\mathbb{R}$ была «назначена», а именно модуль разности двух величин. Но часто $\mathbb{R}^2$ рассматривается только как векторное пространство, т.е. вообще без метрики (никак не определяя операцию умножения векторов). Чтобы различать эти ситуации, можно говорить векторное (линейное) пространство $\mathbb{R}^2$, либо алгебра (прямого произведения / прямой суммы) $\mathbb{R}^2$. Кстати, вопрос по Вашему утверждению. Какова «автоматическая» метрика (норма) пространства вещественных матриц, которые рассматриваются как векторные пространства размерности $n^2$?

В $\mathbb{R}^2$, как векторном пространстве, а не алгебре прямой суммы, можно выбрать любую норму вида, например: $|| r ||~~= (| x |^p + | y |^p)^{\frac{1}{p}}$, где $r = (x, y) \in \mathbb{R},~~~~ 1 \le p \le \infty$. В результате получим нормированное пространство $l_p(\mathbb{R}^2)$. Причем эта норма легко обобщается на любое $\mathbb{R}^n$. В комплексной плоскости модуль числа $\,| z |$ совпал с нормой $\,|| z ||$ пространства $l_2(\mathbb{R}^2)$, потому и использован в качестве нормы. Однако ничто не мешает использовать некий диалект $\mathbb{C}$ и использовать на нем любую норму $l_p(\mathbb{R}^2)$, при $p \neq 2$.

В $\mathbb{H}_2$ модуль числа $\,| h |$ не совпадает ни с какой нормой $\,|| h ||$ пространства $l_2(\mathbb{R}^2)$, к тому же этот модуль удовлетворяет не всем аксиомам нормы, максимум, на что можно рассчитывать это получить на его основе полунорму (я сильно не вникал, но похоже это так). Поэтому поступать так, как сделано в комплексной плоскости $\mathbb{C}$, по меньшей мере, опрометчиво. А именно строить (полу)метрику только на модуле числа $\,| h |$. Поэтому как поступить с метрикой (нормой) в $\mathbb{H}_2$ - это открытый вопрос. Лично я бы оставил норму $\,|| h ||$ пространства $l_2(\mathbb{R}^2)$ (и пространства $\mathbb{C}$), но не отказывался бы и от модуля $\,| h |$ как меры близости к делителям нуля. Однако всю сходимость и пределы строил бы на эвклидовой норме. Кстати, так многие и делают. У Вас, конечно, могут быть другие соображения. Например, ограничится только полунормой $\,| h |$. Или, может быть, Вы предпочитаете еще какой либо вариант. Однако при этом, я уверен, свойства алгебраического пространства $\mathbb{H}_2$ будут затеняться свойствами (полу)нормированного пространства $\mathbb{H}_2$. Логично, наверное, рассмотреть все приемлемые для нас вариации пространств $\mathbb{H}_2$, обозначив их разными метками и работать к конкретным «диалектом» $\mathbb{H}_2$, так чтобы у других это вызывало вопросов. Эти моменты также можно будет отразить в общей статье.
Однако Ваш тезис, что умножение или алгебра автоматически задает метрику, я не могу принять. Я могу согласиться только с тем, что на базе алгебраических операций можно ввести некоторую метрику, но считать ее выделенной? Отнюдь!

И насчет «регулярной путаницы пространств $\mathbb{H}_2$ и $\mathbb{R}^2$». Эти пространства изоморфны как алгебры и это уже доказанный факт! $\mathbb{H}_2$ это просто повернутый $\mathbb{R}^2$ на 45 градусов по часовой стрелке. И даже сопряжение, модуль и аргументы этих пространств также изоморфны. Если какое-либо свойство Вы считаете не изоморфным, то просто приведите контраргумент и все сразу станет ясно.

А про аффинные пространства говорить не стоит, ибо мы работаем с линейными векторными пространствами.

Time писал(а):

Я, кажется, наконец увидел причины нашего взаимного непонимания в вопросе о коммутирующих (некоммутирующих) эллиптически мнимых единицах. Вы их рассматриваете как матрицы 2х2, а я и Гарасько для такой алгебры как ${C}\oplus{C}$ как метрицы 4х4! Естественно, что в "Вашем" представлении ТАКАЯ эллиптическая единица могла быть только одна, тогда как в "нашем" много и они вполне коммутируют между собой и с гиперболическими мнимыми единицами, также, кстати, представляемыми матрицами 4х4. Перейти от "Вашей" 2х2 матрицы к "нашим" двум 4х4 в изотропном базисе довольно легко. Нужно просто поставить "Вашу" в левый верхний угол матрицы 4х4 состоявшей до этого из одних нулей, а для получения второй мнимой единицы, коммутирующей с первой, поставить в правый нижний угол нулевой матрицы 4х4. Если после этого перейти из изотропного базиса в "ортонормированный", то появятся те две эллиптические мнимые единицы, о которых говорил выше я. В отличие от "Ваших" мнимых единиц, у которых в смысле четырехмерной финслеровой метрики - нулевой модуль, то есть, они связаны с изотропными векторами этого четырехмерного пространтсва, у "моих" в смысле этой метрики самые настоящие единичные модули. То есть, мы с самого начала говорили о РАЗНЫХ эллиптических единицах четырехмерного финслерова пространства, связанного с алгеброй ${C}\oplus{C}$.

Я уже демонстрировал две эквивалентные (при раздельном использовании), но разные эллиптические единицы второго порядка (см. здесь формулы (2)). Они симметрические и должны коммутировать между собой. И вполне можно пытаться на их основе в совокупе с нейтральной единицей строить линейную оболочку над $\mathbb{R}$. Эта как раз конструктивная часть линейных оболочек независимых матричных единиц над $\mathbb{R}$. На этой идее можно строить произвольные поли- и гиперчисла. По сути, весь вопрос сводиться с матричному разложению квадроединичной матрицы (т.е. матрицы, все поля которой равны 1) на полную сумму независимых матричных единиц. Наверное, такие разложения будут неединственными и при больших размерностях – нетривиальной задачей (во всяком случае, пока). К этой части наших исследований мы обязательно перейдем, когда разберемся с $\mathbb{H}_2$ и $\mathbb{P}_2$. Меня будут интересовать вопросы минимальности порядка разложения с заданными свойствами, вопросы классификации и т.п. Но это будет уже следующий этап исследований. Сейчас мне не хочется заниматься трехмерными и четырехмерными поличислами, так как еще слишком много произвола и мало порядка. И еще, единицы могу быть разными, но эквивалентными (даже разных порядков). Это означает, что их независимые линейные оболочки будут давать изоморфные пространства.

Time писал(а):

Вы также не правы, когда пишите, что

Цитата:

..оба пространства не «видят» друг друга и работают «сами по себе».

Постулированный закон произведения элементов, представленных В ЛЮБОМ базисе, а не только в изотропном (в котором, собственно только и происходит разделение на две вроде бы как независимые алгебры) связывает все пространство в единое целое и на нем именно благодаряя этой связи имеется все объединяющая финслерова метрика, причем одна единственная, а не какую Вы захотите этому пространству приписать. Мы с Гарасько слишком давно работаем с такими пространствами, что бы "лохануться" в таком вопросе..
На сколько я помню, в своей книге Гарасько доказывает теорему, согласно которой все алгебры невырожденных поличисел размерности три и выше (а тут работает известная Вам теорема Вейерштрасса) оказываются естественным образом связанными с конкретными метриками финслеровыми метриками, точно также как алгебра комплексных чисел естественным образом связана с евклидовой метрикой. Произвола тут нет никакого..

Я говорил только и исключительно о прямом (декартовом) произведении и прямых суммах произвольно заданных пространств (множеств) и алгебре такой прямой суммы. Ничего личного, исключительно математические определения и только. Просто Ваша конструкция не вписывается в алгебру и топологию прямых сумм, Вы говорите об этом, а подразумеваете что-то совершенно иное. Вот по этому мы и не понимаем друг друга, потому что вкладываем разный смысл в одни и те же математические термины. Помню слова Руста Вам: «поскольку мы не фиксируем математическую терминологию. . .»

Time писал(а):

Мне кажется, что основная причина обсуждаемого недоразумения связана с тем, что Вы идете от конструкции прямой суммы, а мы с Гарасько (так уж исторически сложилось) шли от таблицы умножения выраженной не в изотропном базисе, а в "ортонормированном". Естественно, что свойства чисел от базиса не зависят, но восприятие их существенно меняется в зависимости от того, с какой таблицы умножения и в каком базисе начинаешь ими заниматься.

Да, нет! О прямой сумме я говорю по большей части потому, что Вы ставите их во главу угла при построении поличисел, на основании теоремы Вейерштрасса. В первом кусочке нашей статьи, что я послал Вам, вместо теоремы Вейерштрасса я предлагаю говорить о теоремах Кэли и Вадерберна-Артина. И на их основе переходить к конструктивному построению поли- и гиперчисел на базе линейной оболочки независимых матричных единиц над $\mathbb{R}$(а тут могут быть нетривиальные теоремы). А таблица умножения (не важно, в каком базисе, как говорят, с точностью до подобия) у меня вторична и получается автоматом на базе независимого матричного разложения квадроединичной матрицы (а эту теорему еще предстоит доказать).

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Процедуру удвоения я совершенно не использую! Использую только линейную оболочку, в которой результирующая размерность может быть любым натуральным числом, а не только степенью двойки. Топологию и метрику я также пока не использую,

Вот в последней фразе, похоже, и кроется причина столь затянувшегося недоразумения. Как только задано правило умножения ВСЕХ пар чисел (а оно задано, как только мы записали, что алгебра изоморфна ${C}\oplus{C}$), а не только внутри подалгебр, являющихся элементами прямой суммы, на всем n-мерном пространстве - у нас появляется и конкретная метрика, и конкретная топология (с последним, может, все обстоит и сложнее, но метрика появляется точно и это доказано). Причем вместе с этой метрикой автоматически оказываются заданными и группы симметрий, причем не только обычно понимаемых под этим термином изометрических и конформных преобразований, сохраняющих длины и углы, но и более сложные, имеющие под собой очень непривычные чисто финслеровские метрические инварианты. Не стой всего этого за алгеброй ${C}\oplus{C}$ АВТОМАТИЧЕСКИ, думаю, ей было бы совершенно не интересно заниматься. Но именно этого Вы ее и стараетесь так усиленно лишить. :)

Кем доказана? То о чем Вы говорите, звучит как классика. И если это так, то должны существовать тонны ссылок на подобные факты. Без ссылок мы будем бесконечно ходить по кругу. Вы будете говорить о некотором утверждении как о факте, я не соглашаться. И без явных ссылок это будет напоминать разговор слепого с глухим. Мне, чтобы доказать невозможность указанного Вами факта потребуется затратить на порядок больше усилий, чем Вам намекнуть на основные идеи доказательства. Тот же пример о разложении аналитических функций в $\mathbb{C}$. Я до сих пор не могу понять на чем основана Ваша уверенность в этом, а чтобы доказать обратное, мне надо очень напрячься, в смысле времени. По возможности я стараюсь приводить некоторые выкладки своих рассуждений, например, привел собственное доказательство изоморфности $\mathbb{H}_2$ и $\mathbb{R}^2$(помимо ссылки на этот факт у Розенфельда). Вы же безо всякой критики доказательства (из одной строчки!) пишите насчет «регулярной путаницы пространств $\mathbb{H}_2$ и $\mathbb{R}^2$». Если путаница, значит ошиблись Розенфельд и я. Но где указание ошибки? Ну, и так далее. Я, конечно, понимаю, что говорить математически строго для Вас трудно, да и мне нелегко, но без желания опираться на строгие математические формулировки (определения и теоремы) мы только и будем что толочь воду в ступе, вместо занятия реальным делом. Например, я хочу проверить замечание Руста, брошенное им вскользь, что интеграл типа Коши в $\mathbb{H}_2$ при использовании вместо малых окружностей гипербол с модулем, стремящимся к нулю и, соответственно, с учетом поведения функции на бесконечности, можно получить аналог интегральной формулы Коши в $\mathbb{H}_2$ такой же, как и в $\mathbb{C}$.

[Time]

bayak в сообщении #315960 писал(а):

Ну почему же, как раз так и надо. Но надо иметь ввиду, что касательное к 4-тору пространство в каждой его точке это пространство Б-М, а следовательно надо требовать сохранения не углов а полиуглов.

Опа.. То есть, Вы хотите рассмотреть кривое финслерово пространство частного вида, называя его 4-тором? Это круто. :) У такого действительно будет бесконечная группа конформных преобразований, только такое пространство будет уж очень сильно отличаться от обычного риманова или псевдориманова тора. Для начала, его следовало бы строго определить. Старые римановы определения не годятся, так как и метрика и топология совсем иные. Кроме того, с геометрией Бервальда-Моора и в плоских пространствах пока полной ясности нет, а Вы решили, значит, сразу к тору перейти.. Лихо.. :)

[Time]

Да, похоже без конкретного примера нам не обойтись.
Продемонстрирую, как я понимаю построение четырехкомпонентной алгебры, являющейся прямой суммой ${C}\oplus{C}$

Числа этой алгебры, как Вы сами справедливо пишите можно представлять в виде:
$X=e_1z_1+e_2z_2$ (*)
Где $e_1$ и $e_2$ - тоже самое что и у Вас - две мнимые единицы строящейся четырехкомпонентной алгебры.
Я специально заменил Ваши обозначения связанные с $C^2$ и $C$ на $X$ и $z_k$, что бы возникало меньше путаницы. Иначе Ваш символ $C$ при первом и при втором базисном элементе yнесколько осложняет построение.
Число $X$ - гиперкомплексное и четырехкомпонентное. Числа $z_k$ - обычные комплексные и двухкомпонентные.
Раскрывая $z_1$ и $z_2$, имеем
$X=e_1(x_1+iy_1)+e_2(x_2+iy_2)=e_1x_1+e_1iy_1+e_2x_2+e_2iy_2$

При этом с самого начала и в отличие от Вас мы подразумеваем матричное представление $e_1$ в виде:
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
и $e_2$ в виде:
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
Тогда как $i$ - самая обычная мнимая единица из множества комплексных чисел и имеет вид матрицы 2х2:

0 1
-1 0

В итоговой четырехкомпонентной алгебре появляются 4 мнимые единицы:
Кроме $e_1$ и $e_2$ еще и $e_1i$ и $e_2i$, которые в отличие от $i$ имеют представление как и первые две в виде матрицы 4x4. Давайте две последних обозначим как $e_3$ и $e_4$.

Таблица умножений всех четырех базисных единиц будет иметь вид (если чего не напутал, конечно) :

$......e_1.. e_2.. e_3.. e_4$
$e_1... e_1.. 0... e_3 ... 0$
$e_2... 0... e_2.. 0... e_4$
$e_3... e_3.. 0 -e_1.. 0$
$e_4... 0... e_4.. 0 -e_2$

Не трудно заметить, что все четыре единицы представляют собой делители нуля алгебры ${C}\oplus{C}$ .

От изотропного базиса можно перейти к "ортонормированному" с его единицами, уже не являющимися делителями нуля. Для таких единиц 1, I, J, K будет иметь место другая таблица умножения:

$......1.... I.... J.... K$
$1.... 1.... I.... J .... K$
$I... I -1.... K -J$
$J... J.... K.. .. 1.... I$
$K.. K -J.... I -1$

Откуда, собственно, и следует, что единицы $I$ и $K$ - эллиптические, а 1 и $J$ - гиперболические, все представимы матрицами 4x4, коммутируют друг с другом и имеют финслеровскую величину модуля равную единице.
Еще раз повторю, что у Ваших "единиц" модуль (в смысле 4-х мерного финслерова пространства) был нулевым, чего никак не следовало из вида матриц размерности 2х2.

В свое время, я почти случайно столкнулся именно с последней таблицей умножения и порождаемой ею алгеброй. Связанные с этой таблицей умножения базисных единиц суммы и произведения произвольных четырехкомпонентных гиперчисел принадлежащих данной алгебре не приводили ни к каким противоречиям. Более того, оказалось возможным ввести понятие модуля для каждого числа, а для большинства чисел - еще и обратного числа. Эта алгебра в отличие от внешне похожей алгебры кватернионо оказалась коммутативной и ассоциативной, но содержащей делители нуля. У нее обнаружилось много замечательных свойств и, прежде всего, связь с четырехмерным пространством, имеющим финслеровскую метрику задаваемую формой с четвертыми степенями от компонент. Только потом выяснилось, что эта алгебра изоморфна ${C}\oplus{C}$. Однако, из за того, что изучать мне ее давелось, отталкиваясь именно от базиса 1, I, J, K - с самого начала было понятно, что она задавала именно единое четырехмерное пространство, а не как думаете Вы с Рустом - две независимых и "невидящих" всего четырехмерия комплексные плоскости. Они то, может, всего четырехмерия не видят, но самому четырехмерию, как говорится, на это наплевать. Оно именно что едино, причем обладает далеко не тривиальной финслеровской метрической функцией. Собственно, в пренебрежении последним фактом и "повинно" сложившееся почти поголовное пренебрежение математиков к особенностям финслеровых пространств связанных с n-арными формами и с поличислами. Прямые суммы все видят, а вот стоящей за ними необычной геометрии полного пространства - в упор не желают замечать..

С остальными спорными вопросами давайте разбираться, когда закроем этот главный вопрос.

[bayak]

Time в сообщении #316073 писал(а):

Опа.. То есть, Вы хотите рассмотреть кривое финслерово пространство частного вида, называя его 4-тором? Это круто.

Почему бы и нет. Только метрика тора индуцируется не пространством вложения, а топологией тора. В результате касательное к тору пространство становится финслеровым.