Про "не совсем ортонормированный базис"

[paha]

Это довольно просто.

Объем паралеллограмма, натянутого на данную систему векторов, равен

$$ V_m^2=(1-c)^{m-1}(1+c(m-1)) $$

откуда следует, что при условии линейной независимости с необходимостью

paha в сообщении #314295 писал(а):

$-\frac{1}{m-1}<c<1$

В случае линейной зависимости $c=\frac{-1}{m-1}$ (случай $c=1$ отпадает -- наши вектора попарно различны)

Систему векторов с подходящими свойствами лекго построить руками по индукции

[ewert]

paha в сообщении #314313 писал(а):

Объем паралеллограмма, натянутого на данную систему векторов, равен

$$ V_m^2=(1-c)^{m-1}(1+c(m-1)) $$

Что ж, можно и так. Только а) я бы не стал упоминать объём и б) как-то неочевидно это выглядит. Т.е. доказать-то это я могу, но -- лишь по индукции, а сама формула -- не очевидна. Ну разве что пошевелить высоту соотв. тетраэдра, но -- лень...

Теперь Вам остался ещё лишь один маленький шаг. Почему невозможно $m>n+1$? (из формулы самой по себе этого, естественно, не видно).

[paha]

ewert в сообщении #314641 писал(а):

Теперь Вам остался ещё лишь один маленький шаг. Почему невозможно $m>n+1$? (из формулы самой по себе этого, естественно, не видно).

Остался не мне, а Вам, задавшему вопрос)

Необходимое условие существования набора $m$ векторов, удовлетворяющих приведенным Вами условиям, это $-\frac{1}{m-1}\le c<1$. Если $m>n+1$, то объем равен нулю, поэтому $c=-\frac{1}{m-1}$

Теперь Вам остается убедиться, что все главные миноры (кроме самого определителя) матрицы Грама данной системы векторов положительны... что противоречит условию $m>n+1$


что касается

Цитата:

а) я бы не стал упоминать объём и б) как-то неочевидно это выглядит. Т.е. доказать-то это я могу

то формула почти очевидна: а) ясно, что $V_m^2=(1-c)^{m-1}f(c)$ (если все $m$ векторов совпадают, то ранг матрицы Грама равен 1, т.е. кратность нуля равна $m-1$); б) ясно, что $f$ -- линейная функция (поэтому ее нетрудно найти)


Решение Вашей задачи, приведенное мною, экономно и красиво. Не придирайтесь)

[ewert]

paha в сообщении #314658 писал(а):

то формула почти очевидна: а) ясно, что $V_m^2=(1-c)^{m-1}f(c)$ (если все $m$ векторов совпадают, то ранг матрицы Грама равен 1, т.е. кратность нуля равна $m-1$); б) ясно, что $f$ -- линейная функция (поэтому ее нетрудно найти)

Что-то мне это не совсем очевидно.

Ладно, вот какой вариант предполагался.

Пусть $\vec y={1\over m}\sum\limits_{k=1}^m\vec e_k$. Тогда $\|\vec y\|^2={1+c(m-1)\over m}$, откуда уже следует $c\geqslant-{1\over m-1}$. При этом минимум косинусов достигается -- на таких и только таких векторах, сумма которых равна нулю, а это возможно (достаточно перейти от $\{\vec e_k\}$ к набору векторов $\vec f_k=\vec e_k-\vec y, \ k=1,2,\ldots,m$, углы между которыми тоже одинаковы). Вот и весь ответ на основной (второй) вопрос, и никаких Грамов.

Что касается независимости, то тут без Грамов, наверное, плохо, но считать их всё-таки не нужно. Линейная независимость векторов равносильна невырожденности матрицы Грама и равносильна положительности её определителя $g_m(c)$. Предыдущие результаты насчёт косинусов наводят на мысль, что последнее должно быть равносильно условию $c>-{1\over m-1}$. Ну это-то действительно легко доказывается по индукции, т.к. $g_{m+1}(c)=(1-c^2)\cdot g_m\big({c\over c+1}\big)$.

Да, а $m\leqslant n+1$ вот почему. Если $m=n+1$, то первые $n$ векторов линейно независимы (т.к. для них неравенство -- строгое), т.е. образуют базис. Условие равенства углов между $\vec e_{n+1}$ и каждым из остальных векторов приводит к тому, что все координаты $\vec e_{n+1}$ в этом базисе одинаковы, т.е. что направление этого вектора задаётся однозначно. Следовательно, ещё одного вектора уже не втиснуть.

[paha]

ewert в сообщении #314688 писал(а):

а) ясно, что $V_m^2=(1-c)^{m-1}f(c)$ (если все $m$ векторов совпадают, то ранг матрицы Грама равен 1, т.е. кратность нуля равна $m-1$); б) ясно, что $f$ -- линейная функция (поэтому ее нетрудно найти)

Что-то мне это не совсем очевидно.

а или б не совсем очевидно?


Дальнейшая дискуссия бессмысленна. Каждый кулик свое болото хвалит.

Спасибо за вопрос, мне было приятно вычислить определитель матрицы Грама.