то формула почти очевидна: а) ясно, что

(если все

векторов совпадают, то ранг матрицы Грама равен 1, т.е. кратность нуля равна

); б) ясно, что

-- линейная функция (поэтому ее нетрудно найти)
Что-то мне это не совсем очевидно.
Ладно, вот какой вариант предполагался.
Пусть

. Тогда

, откуда уже следует

. При этом минимум косинусов достигается -- на таких и только таких векторах, сумма которых равна нулю, а это возможно (достаточно перейти от

к набору векторов

, углы между которыми тоже одинаковы). Вот и весь ответ на основной (второй) вопрос, и никаких Грамов.
Что касается независимости, то тут без Грамов, наверное, плохо, но считать их всё-таки не нужно. Линейная независимость векторов равносильна невырожденности матрицы Грама и равносильна положительности её определителя

. Предыдущие результаты насчёт косинусов наводят на мысль, что последнее должно быть равносильно условию

. Ну это-то действительно легко доказывается по индукции, т.к.

.
Да, а

вот почему. Если

, то первые

векторов линейно независимы (т.к. для них неравенство -- строгое), т.е. образуют базис. Условие равенства углов между

и каждым из остальных векторов приводит к тому, что все координаты

в этом базисе одинаковы, т.е. что направление этого вектора задаётся однозначно. Следовательно, ещё одного вектора уже не втиснуть.