Про "не совсем ортонормированный базис"

[ewert]

Задачка, выковырянная из этой темы.

В $\mathbb R^n$ рассмотрим $m$ разных единичных векторов, наклонённых под одинаковыми углами друг к другу, т.е.: $\|\vec e_k\|=1\ (\forall k)$ и $(\vec e_i,\vec e_k)=c\ (\forall i\ne k)$. ("Разных" -- это, естественно, означает, что $c\ne1$).

1). Какие значения может принимать $m$?

2). В каких пределах может меняться $c$ в зависимости от размерностей?

[paha]

$m$ меняется от одного до $n$

$c$ любое из интервала $(-1;1)$

-- Чт апр 29, 2010 07:12:30 --

Модифицируйте ортогонализацию Грама-Шмидта

[ewert]

paha в сообщении #314176 писал(а):

$m$ меняется от одного до $n$

Во-первых -- подразумевается, естественно, от двух. Во-вторых -- нет, не до эн.

paha в сообщении #314176 писал(а):

$c$ любое из интервала $(-1;1)$

Нет, конечно. Возьмите хотя бы три вектора в трёхмерном пространстве (оно же и наводка).

[paha]

ewert в сообщении #314182 писал(а):

Во-первых -- подразумевается, естественно, от двух.

Для одного вектора условия выполняются... поэтому от одного

ewert в сообщении #314182 писал(а):

Нет, конечно. Возьмите хотя бы три вектора в трёхмерном пространстве

да, ошибся чуть-чуть)

три вектора, образующие правильную пирамиду (попарные углы между векторами лежат в интервале $(0;2\pi/3)$)

-- Пт апр 30, 2010 02:08:08 --

гипотеза (думать лень): при $m<n$ имеем $c\in(-1;1)$
при $m=n$ имеем $c\in(c_n;1)$, где $c_2=-1$, $c_3=-1/2$

может я и неправ... утро вечера мудренее)

[ewert]

paha в сообщении #314224 писал(а):

при $m<n$ имеем $c\in(-1;1)$
при $m=n$ имеем $c\in(c_n;1)$,

Неудачная гипотеза. Очевидно, что при $n>m$ выполняется ровно то же, что и при $n=m$. И почему скобки-то все круглые?...

[paha]

ewert в сообщении #314242 писал(а):

Очевидно, что при $n>m$ выполняется ровно то же, что и при $n=m$

При $n=3$ возьмем два вектора $e_1=e_x$ и $e_2=\cos{\alpha}e_x+\sin{\alpha}e_y$

они неколлинеарны при $\alpha\ne 0,\pi$ и $e_1e_2=\cos\alpha\in(-1;1)$

[ewert]

Вот именно. Если $m=2$, то при $n=3$ -- ровно то же, что и при $n=2$. И при $n=184$ будет -- ровно то же самое.

paha в сообщении #314280 писал(а):

они неколлинеарны

Про коллинеарность вопроса, между прочим, не было. Это уже дополнительный вопрос (не такой уж формально и очевидный, кстати, хотя и несложный).

[paha]

но два вектора, конечно, исключительный случай))

разумеется, от $n$ ничего не зависит

[ewert]

Ну это как сказать -- зависит или нет. Каким может быть всё-таки соотношение между $n$ и $m$?...

[ИСН]

m может достигать n+1, но это только при одном исключительном значении c.
При всех меньших m будут какие-то там интервалы допустимых c.

[ewert]

ИСН в сообщении #314290 писал(а):

m может достигать n+1, но это только при одном исключительном значении c.При всех меньших m будут какие-то там интервалы допустимых c.

Это правда. Осталось это формально доказать.

Но, между прочим, хоть этот вопрос и стоял первым, основной всё-таки -- второй (не зависящий от первого). В каких конкретно пределах может меняться $c$?

И заодно уж тогда и третий: что можно сказать про линейную независимость этих векторов?...

[paha]

ewert в сообщении #314161 писал(а):

В $\mathbb R^n$ рассмотрим $m$ разных единичных векторов, наклонённых под одинаковыми углами друг к другу, т.е.: $\|\vec e_k\|=1\ (\forall k)$ и $(\vec e_i,\vec e_k)=c\ (\forall i\ne k)$. ("Разных" -- это, естественно, означает, что $c\ne1$).

1). Какие значения может принимать $m$?

2). В каких пределах может меняться $c$ в зависимости от размерностей?

У меня получилось $-\frac{1}{m-1}<c<1$

[ewert]

Верно, только: почему неравенство -- строгое?...

И как доказать?...

[paha]

точнее: $m$ линейно независимых единичных векторов, для которых $e_ie_j=c$ (при $i\ne j$) существуют если и только если

paha в сообщении #314295 писал(а):

$-\frac{1}{m-1}<c<1$

[ewert]

Почему?

И почему они независимы?

И что будет в случае равенства?

И почему невозможно $m>n+1$?