целые значения выражений с радикалами

[age]

Добавлю еще:
$a=\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}+\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}-\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}$

[maxal]

age в сообщении #291596 писал(а):

Добавлю еще:
$a=\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}+\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}-\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}$

Это частный случай формулы post23609.html#p23609 для $c=a^2-4$, $b=1$, которая в свою очередь является частным случаем формулы post58316.html#p58316 для $n=3$.

[arqady]

Вот ещё, из похожей оперы:
Пусть $a\in\mathbb R,$ $\phi=\arctan{\frac{2a+3}{3\sqrt3}}.$ Докажите, что:
$\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi}{3}}-\frac{1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi+\pi}{3}}-\frac{1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi+2\pi}{3}}-\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{a+6-3\sqrt[3]{a^2+3a+9}}$

[frankusef]

А вот такое равенство

$$\sqrt[5]{\frac{11+5\sqrt 5}{2}}+\sqrt[9]{\frac{76-34\sqrt 5}{2}}=1$$

слабо?
Или такое

$$\sqrt[4]{\frac{7+3\sqrt 5}{2}}-\sqrt[4]{\frac{7-3\sqrt 5}{2}}=1\,\,\,\,.$$

[worm2]

Ну, 2-е легко. Нетрудно (подбором) извлечь корень из $14\pm6\sqrt{5}$, а потом и из $6\pm2\sqrt{5}$.

-- Сб апр 10, 2010 19:01:40 --

После этого и до 1-го можно догадаться. Каждый из 4-х радикалов равен $\frac{\pm1\pm\sqrt{5}}{2}$. Может, здесь как-то хитро и красиво можно под последовательность Фибоначчи это дело подвести, но мне уже как-то скучновато...

[Edward_Tur]

Пьер и Барон Мюнхаузен по-разному доказали равенство $\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }} = 1$:
Пьер решил так: возведением в куб равенства $\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }} = x$ получил кубическое уравнение ${x^3} + 3x - 4 = 0$, которое имеет лишь один действительный корень $x = 1$.
Барон Мюнхаузен же доказал равенство, записав тождество: $2 \pm \sqrt 5 = {\left( {\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^3}$ и утверждает, что выделением полного куба доказываются все аналогичные равенства.
Прав ли Барон Мюнхаузен, т.е. если имеет место равенство
$\sqrt[3]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt b }} = c$, (1)
где a, b и $c \ne 0$ - рациональные, $\sqrt b $ - иррациональное, то или всегда найдутся такие рациональные p и q, что
$a \pm \sqrt b = {\left( {p \pm \sqrt q } \right)^3}$?

[venco]

Edward_Tur в сообщении #314009 писал(а):

Прав ли Барон Мюнхаузен, т.е. если имеет место равенство
$\sqrt[3]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt b }} = c$, (1)
где a, b и $c \ne 0$ - рациональные, $\sqrt b $ - иррациональное, то или всегда найдутся такие рациональные p и q, что
$a \pm \sqrt b = {\left( {p \pm \sqrt q } \right)^3}$?

Найдутся всегда, более того, для $p$ и $q$ есть достаточно простые рациональные формулы от $a$, $b$ и $c$.

[Edward_Tur]

$\sqrt[3]{{a + \sqrt {{{\left( {\frac{{a + {c^3}}}{{3c}}} \right)}^2} \cdot \frac{{8a - {c^3}}}{{3c}}} }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt {{{\left( {\frac{{a + {c^3}}}{{3c}}} \right)}^2} \cdot \frac{{8a - {c^3}}}{{3c}}} }} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{c}{2} + \sqrt {\frac{{8a - {c^3}}}{{12c}}} } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{c}{2} - \sqrt {\frac{{8a - {c^3}}}{{12c}}} } \right)}^3}}} = c$