2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re:
Сообщение23.02.2010, 20:01 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Добавлю еще:
$a=\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}+\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}-\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение23.02.2010, 20:18 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
age в сообщении #291596 писал(а):
Добавлю еще:
$a=\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}+\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}-\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}$

Это частный случай формулы post23609.html#p23609 для $c=a^2-4$, $b=1$, которая в свою очередь является частным случаем формулы post58316.html#p58316 для $n=3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.02.2010, 23:58 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Вот ещё, из похожей оперы:
Пусть $a\in\mathbb R,$ $\phi=\arctan{\frac{2a+3}{3\sqrt3}}.$ Докажите, что:
$\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi}{3}}-\frac{1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi+\pi}{3}}-\frac{1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi+2\pi}{3}}-\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{a+6-3\sqrt[3]{a^2+3a+9}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: целые значения выражений с радикалами
Сообщение10.04.2010, 14:27 
Аватара пользователя


28/02/10

103
А вот такое равенство $$\sqrt[5]{\frac{11+5\sqrt 5}{2}}+\sqrt[9]{\frac{76-34\sqrt 5}{2}}=1$$ слабо?
Или такое $$\sqrt[4]{\frac{7+3\sqrt 5}{2}}-\sqrt[4]{\frac{7-3\sqrt 5}{2}}=1\,\,\,\,.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: целые значения выражений с радикалами
Сообщение10.04.2010, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Ну, 2-е легко. Нетрудно (подбором) извлечь корень из $14\pm6\sqrt{5}$, а потом и из $6\pm2\sqrt{5}$.

-- Сб апр 10, 2010 19:01:40 --

После этого и до 1-го можно догадаться. Каждый из 4-х радикалов равен $\frac{\pm1\pm\sqrt{5}}{2}$. Может, здесь как-то хитро и красиво можно под последовательность Фибоначчи это дело подвести, но мне уже как-то скучновато...

 Профиль  
                  
 
 Рациональные значения выражений с радикалами
Сообщение27.04.2010, 20:44 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
Пьер и Барон Мюнхаузен по-разному доказали равенство $\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }} = 1$:
Пьер решил так: возведением в куб равенства $\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }} = x$ получил кубическое уравнение ${x^3} + 3x - 4 = 0$, которое имеет лишь один действительный корень $x = 1$.
Барон Мюнхаузен же доказал равенство, записав тождество: $2 \pm \sqrt 5  = {\left( {\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^3}$ и утверждает, что выделением полного куба доказываются все аналогичные равенства.
Прав ли Барон Мюнхаузен, т.е. если имеет место равенство
$\sqrt[3]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt b }} = c$, (1)
где a, b и $c \ne 0$ - рациональные, $\sqrt b $ - иррациональное, то или всегда найдутся такие рациональные p и q, что
$a \pm \sqrt b  = {\left( {p \pm \sqrt q } \right)^3}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные значения выражений с радикалами
Сообщение29.04.2010, 22:19 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
Edward_Tur в сообщении #314009 писал(а):
Прав ли Барон Мюнхаузен, т.е. если имеет место равенство
$\sqrt[3]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt b }} = c$, (1)
где a, b и $c \ne 0$ - рациональные, $\sqrt b $ - иррациональное, то или всегда найдутся такие рациональные p и q, что
$a \pm \sqrt b  = {\left( {p \pm \sqrt q } \right)^3}$?
Найдутся всегда, более того, для $p$ и $q$ есть достаточно простые рациональные формулы от $a$, $b$ и $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: целые значения выражений с радикалами
Сообщение30.04.2010, 08:55 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
$\sqrt[3]{{a + \sqrt {{{\left( {\frac{{a + {c^3}}}{{3c}}} \right)}^2} \cdot \frac{{8a - {c^3}}}{{3c}}} }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt {{{\left( {\frac{{a + {c^3}}}{{3c}}} \right)}^2} \cdot \frac{{8a - {c^3}}}{{3c}}} }} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{c}{2} + \sqrt {\frac{{8a - {c^3}}}{{12c}}} } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{c}{2} - \sqrt {\frac{{8a - {c^3}}}{{12c}}} } \right)}^3}}} = c$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group