2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re:
Сообщение23.02.2010, 20:01 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Добавлю еще:
$a=\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}+\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}-\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение23.02.2010, 20:18 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
age в сообщении #291596 писал(а):
Добавлю еще:
$a=\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}+\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^3-3a}{2}-\dfrac{(a^2-1)}{2}\sqrt{a^2-4}}}$

Это частный случай формулы post23609.html#p23609 для $c=a^2-4$, $b=1$, которая в свою очередь является частным случаем формулы post58316.html#p58316 для $n=3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.02.2010, 23:58 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Вот ещё, из похожей оперы:
Пусть $a\in\mathbb R,$ $\phi=\arctan{\frac{2a+3}{3\sqrt3}}.$ Докажите, что:
$\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi}{3}}-\frac{1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi+\pi}{3}}-\frac{1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}\tan{\frac{\phi+2\pi}{3}}-\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{a+6-3\sqrt[3]{a^2+3a+9}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: целые значения выражений с радикалами
Сообщение10.04.2010, 14:27 
Аватара пользователя


28/02/10

103
А вот такое равенство $$\sqrt[5]{\frac{11+5\sqrt 5}{2}}+\sqrt[9]{\frac{76-34\sqrt 5}{2}}=1$$ слабо?
Или такое $$\sqrt[4]{\frac{7+3\sqrt 5}{2}}-\sqrt[4]{\frac{7-3\sqrt 5}{2}}=1\,\,\,\,.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: целые значения выражений с радикалами
Сообщение10.04.2010, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Ну, 2-е легко. Нетрудно (подбором) извлечь корень из $14\pm6\sqrt{5}$, а потом и из $6\pm2\sqrt{5}$.

-- Сб апр 10, 2010 19:01:40 --

После этого и до 1-го можно догадаться. Каждый из 4-х радикалов равен $\frac{\pm1\pm\sqrt{5}}{2}$. Может, здесь как-то хитро и красиво можно под последовательность Фибоначчи это дело подвести, но мне уже как-то скучновато...

 Профиль  
                  
 
 Рациональные значения выражений с радикалами
Сообщение27.04.2010, 20:44 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
Пьер и Барон Мюнхаузен по-разному доказали равенство $\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }} = 1$:
Пьер решил так: возведением в куб равенства $\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }} = x$ получил кубическое уравнение ${x^3} + 3x - 4 = 0$, которое имеет лишь один действительный корень $x = 1$.
Барон Мюнхаузен же доказал равенство, записав тождество: $2 \pm \sqrt 5  = {\left( {\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^3}$ и утверждает, что выделением полного куба доказываются все аналогичные равенства.
Прав ли Барон Мюнхаузен, т.е. если имеет место равенство
$\sqrt[3]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt b }} = c$, (1)
где a, b и $c \ne 0$ - рациональные, $\sqrt b $ - иррациональное, то или всегда найдутся такие рациональные p и q, что
$a \pm \sqrt b  = {\left( {p \pm \sqrt q } \right)^3}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные значения выражений с радикалами
Сообщение29.04.2010, 22:19 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
Edward_Tur в сообщении #314009 писал(а):
Прав ли Барон Мюнхаузен, т.е. если имеет место равенство
$\sqrt[3]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt b }} = c$, (1)
где a, b и $c \ne 0$ - рациональные, $\sqrt b $ - иррациональное, то или всегда найдутся такие рациональные p и q, что
$a \pm \sqrt b  = {\left( {p \pm \sqrt q } \right)^3}$?
Найдутся всегда, более того, для $p$ и $q$ есть достаточно простые рациональные формулы от $a$, $b$ и $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: целые значения выражений с радикалами
Сообщение30.04.2010, 08:55 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
$\sqrt[3]{{a + \sqrt {{{\left( {\frac{{a + {c^3}}}{{3c}}} \right)}^2} \cdot \frac{{8a - {c^3}}}{{3c}}} }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt {{{\left( {\frac{{a + {c^3}}}{{3c}}} \right)}^2} \cdot \frac{{8a - {c^3}}}{{3c}}} }} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{c}{2} + \sqrt {\frac{{8a - {c^3}}}{{12c}}} } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{c}{2} - \sqrt {\frac{{8a - {c^3}}}{{12c}}} } \right)}^3}}} = c$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group