П. К. Рашевский О ДОГМАТЕ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА

[Someone]

Yuri Gendelman писал(а):

Мне встречалась книга этих авторов "Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы".

Читал эту книгу, будучи аспирантом, и даже сдавал по ней экзамен А.Я.Хелемскому (в 1973 или в 1974 году). А.Я.Хелемский тогда сказал, что в одном из доказательств имеется пробел, который в то время был не устранён, но и контрпримера не было. А.Я.Хелемский мне этот пробел указал (в книге оператор замыкания обозначается просто чертой над символом множества, без указания псевдотопологии, в которой берётся замыкание; в доказательстве этот оператор брался в одной псевдотопологии, а в утверждении, на которое при этом ссылались - в другой; из-за неполных обозначений это от авторов, видимо, ускользнуло), но, за давностью лет, я уже не помню, где именно это было.

Может быть, кто-нибудь в курсе, как там разрешилась эта ситуация?

Добавлено при правке. Вот, наврал. Никакой это был не А.Я.Хелемский. А был это О.Г.Смолянов.

[Yuri Gendelman]

Руст писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

...http://arxiv.org/math.QA/9802029...

К сожалению не удалось по вашей ссылке ознакомится с сайтом, интересно было бы ознакомится.

Это прямая ссылка на е-принт. Могу прислать, или скачайте с Рапидшары: http://rapidshare.de/files/31366275/9802029.pdf.html.
Если Вы еще не знакомы с этим сайтом, то не теряйте времени: http://arxiv.org/.

[Руст]

Что касается упомянутой книжки, я её прочитал ещё на 3-ем курсе и ещё тогда говорил, что для построения дифференцирования можно обойтись и без линейной и непрерывной структуры, просто надо задать отношение эквивалентности в каждой точке на множестве функций. Такое определение включает и "квантовое дифференцирование" типа (f(x+h)-f(x))/h или (f(xq)-f(x))/(q-1). Правда такой подход слишком примитивен и не учитывает взаимосвязь разных отношений эквивалентностей в разных точках. Поэтому, дифференциальную структуру лучше рассматривать как особый вид непрерывной структуры. А последние задавать с помощью категорного подхода, двойственного заданию структуры универсальных алгебр. Универсальные алгебры задаются "операциями", представляющими подмножествами HOM(A,X) (A - грубо арность операции), структура на категории это сохраняющие эти HOM морфизмы. Непрерывные структуры (в том числе дифференциальные)на Х определяются заданием подмножеств HOM(X,A). В статье "Многообразия непрерывных структур" более подробно рассматривается такой категорный подход.

[PSP]

Руст писал(а):

...проявляется ограниченночсть топологической структуры. Проблема фундаментальной длины так же связано с этим. Непрерывная структура на пространстве должна сочетать обычную непрерывность и некоторую дискретность. А этого сочетания невозможно добиться в рамках топологии

Приватное обсуждение проблемы фундаментальной длины как раз и показало ограниченночсть топологической структуры, поэтому мне и интересно посмотреть эту работу..

[Котофеич]

Someone писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

Мне встречалась книга этих авторов "Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы".

Читал эту книгу, будучи аспирантом, и даже сдавал по ней экзамен А.Я.Хелемскому (в 1973 или в 1974 году). А.Я.Хелемский тогда сказал, что в одном из доказательств имеется пробел, который в то время был не устранён, но и контрпримера не было. А.Я.Хелемский мне этот пробел указал (в книге оператор замыкания обозначается просто чертой над символом множества, без указания псевдотопологии, в которой берётся замыкание; в доказательстве этот оператор брался в одной псевдотопологии, а в утверждении, на которое при этом ссылались - в другой; из-за неполных обозначений это от авторов, видимо, ускользнуло), но, за давностью лет, я уже не помню, где именно это было.

Может быть, кто-нибудь в курсе, как там разрешилась эта ситуация?

Кусраев и Кутателадзе занимались этим делом и наверное знают. А может и здесь
написано
http://www.urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&la ... k&id=33419

[PSP]

PSP писал(а):

Вот если бы кто из математиков со мной скооперировался бы, может, дело бы и быстрей пошло...

Кого из математиков этло может заинтересовать?

[Котофеич]

Yuri Gendelman писал(а):

Руст писал(а):

Фрёлёхер,Бухер. Дифференциальное исчисление в псевдотопологических векторных пространствах.

Мне встречалась книга этих авторов "Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы".

Что касается божественности натуральных чисел, то существует концепция категорификации, к-рую разрабатывали Крейн (Crane) и Бэз (Baez). См. напр. обзор: John C. Baez, James Dolan. Categorification http://arxiv.org/math.QA/9802029
Грубо говоря, "множество натуральных чисел было изобретено с помощью декатегорификации категории конечных множеств"

Чересчур смело сказано. На самом деле категорификация не дает каких либо
принципиально новых обобщений обычных натуральных чисел, поскольку стандартная
теория категорий всецело опирается на классическую теорию натурального ряда при
определении таких понятий как произведения объектов и т.п.
Что касается высказывания Кронекера, то это мистика и глупость. Современная
теория натурального ряда это просто формализация представлений первобытного человека
о процессах реального счета. Существуют и другие более сложные формализации этого дела.
То что в современной математике используется каноническая формализация объясняется
хорошо известными субъективными причинами

[Yuri Gendelman]

Котофеич писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

...существует концепция категорификации, ... См. напр. обзор: John C. Baez, James Dolan. Categorification http://arxiv.org/math.QA/9802029
Грубо говоря, "множество натуральных чисел было изобретено с помощью декатегорификации категории конечных множеств"

Чересчур смело сказано. На самом деле категорификация не дает каких либо
принципиально новых обобщений обычных натуральных чисел...

Вот цитата из упомянутого е-принта: "In short, by decategorifying the category of finite sets, the set of natural numbers was invented." Речь здесь, как я понял, идет не об обобщении натуральных чисел, а об отрицании их роли как первичного, "божественного" понятия.

[Котофеич]

Все равно это заблуждение. Сама по себе общая теория категорий это только язык и
не более того. Любой глубокий результат этой теории и даже целый ряд ее исходных конструкций всегда явно или не явно использует понятие натурального числа в классическом
смысле. Понятие натурального числа всегда было есть и будет главным в математике. Однако
теории натурального ряда могут быть и существенно отличными от современной. Просто
классическая математика это замкнутая в себе наука, которая пока не нуждается в пересмотре своих главных концепций.

[Yuri Gendelman]

Котофеич писал(а):

:evil: Все равно это заблуждение. Сама по себе общая теория категорий это только язык и не более того.

Там речь не идет о категориях как первичном объекте. Первичными считаются конечные множества и операция их сравнения по мощности. А натуральные числа возникают как класс конечных множеств равной мощности. Речь конечно идет о первичности исторической.
Именно так кстати учат основам математики в детском саду (3-4 года): "Ну-ка дети, кто скажет чего на столе больше, блюдечек или яблочек?"

[Котофеич]

Хорошо. Кронекер не знал теории категорий, а то бы он сказал :"Дети категорию
конечных множеств создал господь Бог..., а натуральные числа мы открыли путем декотегоризации"

[Руст]

А я сомневаюсь, что при формулировке аксиом категорий мы не используем множества (например для каждой пары объектов A,B имеется "множество HOM(A,B)). Сомневаюсь так же, что при определении аксиом множеств не используем (так и неопределённые натуральные числа и некоторые их свойства). В некотором смысле они остаются замкнуто (без ссылок на самих себя) не определёнными понятиями в математике. Думаю, именно это имел ввиду Кронекер, считая их данными богом.

[Котофеич]

Руст писал(а):

А я сомневаюсь, что при формулировке аксиом категорий мы не используем множества (например для каждой пары объектов A,B имеется "множество HOM(A,B)). Сомневаюсь так же, что при определении аксиом множеств не используем (так и неопределённые натуральные числа и некоторые их свойства). В некотором смысле они остаются замкнуто (без ссылок на самих себя) не определёнными понятиями в математике. Думаю, именно это имел ввиду Кронекер, считая их данными богом.

Совершенно верно. Но Yuri Gendelman почему то против

[Yuri Gendelman]

Котофеич писал(а):

Руст писал(а):

А я сомневаюсь, что при формулировке аксиом категорий мы не используем множества (например для каждой пары объектов A,B имеется "множество HOM(A,B)). Сомневаюсь так же, что при определении аксиом множеств не используем (так и неопределённые натуральные числа и некоторые их свойства). В некотором смысле они остаются замкнуто (без ссылок на самих себя) не определёнными понятиями в математике. Думаю, именно это имел ввиду Кронекер, считая их данными богом.

Совершенно верно. Но Yuri Gendelman почему то против

Руст скорее за наших, чем за Ваших.
Меня вообще говоря интересовало бы мнение об авторе (Baez) и его статьях.
И еще, по-моему в определении категории используются не множества, а классы.

[Котофеич]

Не обижайтесь. Шутка Мнение положительное, эта операция есть аналог
обычной классической толософикации классической теоретикомножественно математики.