Существует ли производная в точке соединения двух парабол?

[errnough]

Maslov в сообщении #313840 писал(а):

у функции $y(x) = x$ в точке $x = 0$ производная тоже $0$?

C этим вопросом у меня большие затруднения...
Если этот предел $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ для $y(x) = x$ существует, то можно что-то говорить производной в точке. На мой взгляд, здесь неопределенность вида $0/0$. Числитель и знаменатель совершенно синхронно топают к нулю. Помогите разобраться.

[Maslov]

Определение предела (в терминах $\varepsilon - \delta$) дайте, пожалуйста.

Ну а потом, пользуясь этим определением, попробуйте доказать, что для функции $y(x) = x$ предел

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y(x)}{\Delta x}$$

всюду существует и равен $1$.

[paha]

errnough в сообщении #313835 писал(а):

вертикальная скорость брошенного камня, летящего по параболе, в верхней точке будет ноль? А производная от ноля есть ноль

значение функции в любой точке из области определения есть число

производная любого числа равна нулю

у любой функции производная в любой точке из области определения равна нулю

(Оффтоп)

"движенья нет сказал мудрец брадатый"

[errnough]

Определение предела:

Для метрического пространства $X$ точка $x_0$ является Пределом последовательности $\left \{x_n \right \}$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ существует такое натуральное $N$, что для всех номеров $n>N$ выполняется неравенство $\rho(x_n,x_0)<\varepsilon$, где $\rho(x_n,x_0)$ — расстояние между точками $x_n$ и $x_0$. [И.М. Виноградов, Математическая энциклопедия, 1977, том 4, стр 528]

Maslov в сообщении #313875 писал(а):

пользуясь этим определением, попробуйте доказать, что для функции $y(x) = x$

А какая связь между числовой последовательностью и функцией? Можете подсказать логику перехода от числовой последовательности к функции? Числовую последовательности и ее свойства, очевидно, нужно использовать как посылку, а из нее вывести свойство у функции.

Подумал, что наверное, есть разница между свойствами термина в посылке и свойствами термина в выводе... В последовательности — числа, или формулы из чисел, а в функции есть как минимум, один символ для подстановки элементов множества, на котором задана функция. Например, мне кажется, что нашему примеру производной функции $y(x) = x$ должна бы соответствовать следующая числовая последовательность:

$0, +1, +1, +1, +1 ...$

А наше выражение под знаком предела это $\frac{x-x_0}{x-x_0}$. Вот и связь обнаружилась, ведь это выражение, по сути, функция-генератор числовой последовательности из аргумента $x$, вот только никак в толк не возьму, как там ноль получился?

Не могу что-то от числовой последовательности с нулем в начале и единицами перейти к равносильной записи $\frac{x-x_0}{x-x_0}$ под знаком предела... поможете? что-то сегодня туго соображаю...

[Maslov]

Вы привели определение предела последовательности, а в данном случае требуется определение предела функции.
Для вещественнозначной функции одного вещественного аргумента один из вариантов определения предела выглядит следующим образом:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0 \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0): 0 < | x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - y_0| < \varepsilon$$

Для того, чтобы по этому определению доказать, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0$, надо по любому значению $\varepsilon$ подобрать такое значение $\delta$, что как только $x$ попадает в проколотую $\delta$-окрестность точки $x_0$, соответствующее значение $f(x)$ попадает в $\varepsilon$-окрестность точки $y_0$.

[errnough]

У Виноградова, предел функции (отображения):
-------------------------------------------

Пусть $X$ и $Y$ топологические пространства, $E \subset X$, $x_0$ — точка прикосновения множества $E$, $f :\; E \rightarrow Y$ отображение $E$ в $Y$. Точку $a \in Y$ называют пределом отображения $f$ в точке $x_0$ (или, как говорят, при $x$, стремящемся к $x_0$) и пишут
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = a \text{ или } f(x) \rightarrow a \text{ при } x \rightarrow x_0,$$
если, какова бы ни была окрестность $V=V(a)$ точки $a$ в $Y$, существует такая окрестность $U=U(x_0)$ точки $x_0$ в $X$, что для любой точки $x \in E \cap U(x_0)$ ее образ $f(x)$ принадлежит $V : f(x) \in V$.

-----------------------------------------------------

Если Вы не станете утверждать, что это определение ложное, то я предпочел бы его, поскольку пятитомная энциклопедия это самый обширный контекст от весьма уважаемой группы авторов. Оно очень конкретное и ясное.

Можете еще раз, в терминах этого определения подсказать идею доказательства, что предел

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y(x)}{\Delta x}$$

всюду существует в точке $0$ существует и равен $1$?

[Maslov]

errnough в сообщении #314006 писал(а):

Можете еще раз, в терминах этого определения подсказать идею доказательства, что предел

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y(x)}{\Delta x}$$

всюду существует в точке $0$ существует и равен $1$?

Будет существенно полезнее, если Вы сделаете это сами.
Для начала переформулируйте приведённое Вами определение предела для рассматриваемого нами частного случая: в качестве топологических пространств $X$ и $Y$ выбрано евклидово пространство $\mathbb R^1$, а в качестве системы окрестностей -- обычные открытые интервалы в $\mathbb R^1$.

[errnough]

Да, конечно, я запишу, но прежде чем что-то делать, и не сделать чего-то зря, мне нужно подтверждение, что мы не идем по ложному пути.

Во-первых, я припоминаю, что учебники Кудрявцева и Фихтенгольца, которые были стандартными учебниками во времена моего студенчества, широко использовали в задаче установления существования пределов функций метод проб и ошибок через такие угаданные разные числовые последовательности, извлеченные из значений функции, которые имели/не_имели одинаковые пределы.

Во-вторых, в определении пределов функции слишком мало исходных посылок, чтобы из них доказать существование предела в конкретной точке.

Мы сознательно (и надеюсь, обоснованно, с Вашей стороны) отказываемся от исследования существования предела функции через угадывание числовых последовательностей с разных направлений (учебники Кудрявцева и Фихтенгольца)?

[Maslov]

Не волнуйтесь: мы не идём по ложному следу.

[errnough]

Разница с тем определением, что приводили Вы, в том, что здесь, в более общем определении, окрестность точки $x_0$ берется по обе стороны, что будет очень кстати.

Пусть $X$ и $Y$ метрическое пространство вещественных чисел (эвклидово $R^1$), $E \subset X$, $x_0$ — точка прикосновения множества $E$, $f :\; E \rightarrow Y$ отображение $E$ в $Y$. Точку $a \in Y$ называют пределом отображения $f$ в точке $x_0$ (или, как говорят, при $x$, стремящемся к $x_0$) и пишут
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = a \text{ или } f(x) \rightarrow a \text{ при } x \rightarrow x_0,$$
если, каков бы ни был открытый интервал $V(a)=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ точки $a$ в $Y$, существует такой открытый интервал $U(x_0)=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ точки $x_0$ в $X$, что для любой точки $x \in E \cap U(x_0)$ ее образ $f(x)$ принадлежит $V : f(x) \in V$.

Все определения пределов, по сути, одинаковы. Суть их, коротко, в том, что для определения существующего предела в точке $x_0$ проверяются условия в окрестности этой точки. И обязательно указывается 1) строгое $\varepsilon>0$ 2) в числовой последовательности обязательно $x \neq x_0$. Или как Вы выразились, проколотую точкой $x_0$ окрестность. Этим самым жестко закрепляется тот факт, что вывод о происходящем в собственно точке $x_0$ будет делаться на основе исследования всего что угодно, например, окрестностей этой точки, но только не самой точки $x_0$. В определениях пределов функций ничего не утверждается про существование предела в точке, но утверждается про существование окрестности, которая удовлетворяет [...] условиям, для уже существующего предела в точке. С точки зрения логики, если бы мы попытались на рассуждениях об одной сущности (окрестностях) сделать вывод о другой сущности (точке), которая в явном виде была исключена из рассуждений, то совершили бы грубейшую логическую ошибку, название ее — подмена оснований в доказательстве. Если она сознательная, то это софизм.

Это всё равно, как если бы сапер исследовал окрестность вокруг точки на карте, а делал вывод об отсутствии мин в точке. И надо же, совпадение какое, что наш вопрос состоит в логически строгом выводе о существовании чего-либо именно в точке, а не в ее окрестностях.

Здесь мне нужна помощь — я не вижу, как из этих определений логически что-либо следует про предел в конкретной точке. Математики, очевидно, понимают, что одного определения для доказательности и убедительности мало, и применяют эвристическую процедуру — метод угадывания и придумывания разных числовых последовательностей, извлеченных из области аргументов, которой отвечает последовательность значений функции. В нашем случае, выражение под знаком предела: $\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{x-x_0}{x-x_0}$, для него и нужно подобрать разные числовые последовательности, которые с разных направлений сходятся к исследуемой точке. Вы же фактически отвергли этот метод, когда стали утверждать, что определение предела числовой последовательности здесь будет не нужно. Конечно, он ничего строго не доказывает из-за субъективного процесса угадывания последовательностей, кроме того, и в этом методе который строго нигде не описан, вновь требуют, чтобы среди элементов последовательности не было самой исследуемой точки. Это опять же, всё то же исследование окрестности точки.

Скажите пожалуйста, мы сознательно, строго исследовать будем только окрестности точки (будем следовать только определению), но логический вывод построим именно о точке?

----------

Между тем, мы начали с вопроса о производной функции в точке $0$. Можно заметить, что именно для этой точки функция превращается в неявно заданную через уравнение $F(x_0,f(x_0))=0$ функцию, состоящую из всего лишь одной пары, $(x_0,y_0)$, если обозначить $f(x_0)=y_0$. И вот теперь мы в контексте исследования не окрестностей, а наконец-то, именно точек. А для неявной функции эта точка может оказаться особой.

И здесь вынужден сказать две вещи совершенно неполиткорректные, за что сразу приношу извинения, дабы преждевременно модераторы не закрыли эту тему.

1. Для этой неявной функции, из-за того, что она всего из двух элементов-точек, наконец-то бессмысленно мусолить ее окрестности, уфф....
2. Неявная функция $F(x_0,f(x_0))=0$, вроде как задана уравнением $y/x$, и это верно везде, кроме $x=0$. А это именно наша точка.

------------

В общем, дальнейшего шага, используя в качестве исходных посылок только определения предела функции, просто не вижу, и нуждаюсь в подсказке.

[Maslov]

errnough в сообщении #314195 писал(а):

И обязательно указывается 1) строгое $\varepsilon>0$ 2) в числовой последовательности обязательно $x \neq x_0$. Или как Вы выразились, проколотую точкой $x_0$ окрестность.

В приведённом Вами определении предела нигде не упоминается проколотая окрестность, поэтому все Ваши многословные рассуждения абсолютно не относятся к делу.

Теперь напишите, пожалуйста, предел какой функции нам надо вычислить. Другими словами, подставьте в определение производной

$$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac {f(x+x_0) - f(x_0)}{x - x_0}$$

нашу конкретную функцию ($f(x) = x$) и конкретную точку $x_0$ ($x_0 = 0$).

[errnough]

Maslov в сообщении #314216 писал(а):

$$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac {f(x+x_0) - f(x_0)}{x - x_0}$$

Странный вид у этой формулы.
Разность $x-x_0$ называется приращение функции. И обычно обозначается $\Delta x$, $x-x_0=\Delta x$
Данному приращению аргумента будет соответствовать $\Delta y=f(x)-f(x_0)$. Откуда $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

И тогда приведенная Вами формула должна быть в более привычном виде

$$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(x+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Maslov в сообщении #314216 писал(а):

Теперь напишите, пожалуйста, предел какой функции нам надо вычислить.

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{ для } y(x) = x ,$$

что равносильно

$$\lim_{x\to x_0}\frac{y-y_0}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{x-x_0}$$

[Maslov]

Да, Вы абсолютно правы насчет формулы -- я ошибся. Теперь подставим сюда наше значение $x_0 = 0$. Получим

$$ y'(0) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac x x $$

Чтобы по приведённому Вами определению доказать, что этот предел равен $1$, надо для любого $\varepsilon > 0$ уметь подобрать такое $\delta > 0$, что

$$\forall x \in (-\delta, \delta) \cap X: \dfrac x x \in (1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$$

где $X$ -- область определения функции $\dfrac x x$, т. е. $X = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$

Легко видеть, что указанное соотношение выполняется для всех положительных $\delta$ (т.е., $\delta$ не зависит от $\varepsilon$).
Т. о., указанный предел (а следовательно, и производная функции $y(x) = x$ в точке $x = 0$) равен $1$.

[errnough]

Maslov в сообщении #314222 писал(а):

$$ y'(0) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac x x $$

Да, вот этот замечательный предел нашей замечательной функции.

И если верить свойству пределов функций:

Если существуют $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$, то
$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)g(x)=\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\cdot \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$$

Мы могли бы проверить это свойство для нашей функции:
$f(x)=x$, $\;\lim\limits_{x \to 0} x = 0$ — существует;
но! $g(x)=1/x$, $\;\lim\limits_{x \to 0} \dfrac 1 x$ — не существует, поскольку с разных направлений имеет разные пределы, $\pm \infty$.

Вроде бы — стоп, дальше хода нет. В математике написали так, что как бы не проверяли этот замечательный предел, используя только посылки из определений и свойств пределов функции, мы везде натыкаемся на запреты для нашего случая. То окрестность проколота, то свойство неприменимо. Этот случай в математике очень хорошо защищен томами учебников и монографий, и надо признать, напоминает добросовестную, но не очень продуманную защиту программ против взлома. Однако простой анализ, доступный даже старшекласснику, покажет, что требование существования пределов для обоих $f(x),g(x)$ в указанном выше свойстве ничем и никем не обосновано, это пустые декларации. Просто табличка на входе: «сюда нельзя». А почему, собственно, нельзя?

Я пойду, посмотрю :)
чисто вот так, навскидку, если бы наша функция $g(x)$ оказалась менее прыгучей, от $- \infty$ до $+ \infty$, в окрестности нашей точки $0$, а мы бы ее заставили быть поспокойнее, и прижали к одной окрестности,$+ \infty$, т.е. вот так: $g(x)= \frac{1}{|x|} $, то

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac x {|x|} =\lim\limits_{x \to 0} f(x)g(x)=\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \dfrac 1 {|x|}$, — то этот предел, по Вашему, должен быть равен $1$.
Однако он равен, по этому свойству, $0\cdot \infty$, то есть, ничему не равен. Хм. Оказывается, это свойство отлично проверяет существование производной в точке $0$ для некоторых функций. Недокументированная процедура? :)))

Но тогда более сумасшедше расходящееся в окрестности $0$ произведение двух функций под знаком предела $\lim\limits_{x \to 0} f(x)g(x)=\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \dfrac 1 {x}$ тем более не будет иметь предела в этой точке.

А Вы говорите, «легко видеть, что ... указанный предел (а следовательно, и производная функции $y(x) = x$ в точке $x = 0$) равен $1$». Гораздо легче увидеть противоположное.

Пожалуй, по этому вопросу, по производной функции $y(x) = x$ в точке $x = 0$ я считаю, что разобрался, большое спасибо за помощь и потраченное на меня время. Но вопрос о производной в точке склейки прямой и параболы остается.

[Maslov]

errnough в сообщении #314319 писал(а):

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac x {|x|} =\lim\limits_{x \to 0} f(x)g(x)=\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \dfrac 1 {|x|}$, — то этот предел, по Вашему, должен быть равен $1$.

Нет. "По-моему", здесь существует левосторонний предел
$\lim\limits_{x \to -0} \dfrac x {|x|} = -1$
и правосторонний предел
$\lim\limits_{x \to +0} \dfrac x {|x|} = +1$
А поскольку эти пределы не равны, то обычный (двусторонний) предел в этой точке не существует (и это тоже можно доказать, воспользовавшись определением).

errnough в сообщении #314319 писал(а):

Но вопрос о производной в точке склейки прямой и параболы остается.

Если у нас есть парабола, склеенная с точке $(x_0, c)$ с прямой
$y(x) = \left\{\begin{array}{l}a(x-x_0)^2 + c, x \le x_0\\c, x > x_0\end{array}\right$
то:
- первая производная в точке склейки существует и $y'(x_0) = 0$;
- левосторонняя вторая производная существует и $y''_-(x_0) = 2a_1$;
- правосторонняя вторая производная существует и равна $y''_+(x_0) = 0$;
- если $a_1 \neq 0$, то обычная (двусторонняя) вторая производная в точке склейки параболы и прямой не существует.