Существует ли производная в точке соединения двух парабол?

[errnough]

Вот только доказать это что-то не получается. Точка соединения куска параболы: $x=1.25$ Найдем аналитическую формулу для нахождения производной от функции в произвольной точке. Отрезок задан функцией:

$F(x)=k_0 x^0$, ее производная:
$F'(x)=0\cdot k_0$.
$F'(1.25)=???$

Куда подставлять $x=1.25$, чтобы узнать значение производной в точке?

[Maslov]

Если $F(x) = k_0 $, то $F'(x) = 0$. Вот сюда и подставляйте своё $x = 1.25$. $0$ и получите.

[errnough]

Куда "туда" подставлять — неясно. Подставить аргумент можно в соответствующий алгебраический символ, здесь — в букву $x$, но в букву $z$, например, нельзя.

[И.М. Виноградов, Математическая энциклопедия, vol.5, 1977]

Функция, —
Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ и каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент $y\in Y$, который обозначен через $f(x)$.

Рассмотрим, к примеру, по определению энциклопедии, функцию $3x+2$:

$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \rightarrow & X\ar[ddr]^x &\\& & & & & &\\f(x)& & & = & &\;3x+2 &\\}$ Здесь всё в порядке, соответствие определению функции есть.


И рассмотрим, по тому же определению, полученную функцию $0\cdot k_0$:
$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \rightarrow & X\ar[ddr]^{???} &\\& & & & &\\f(x)& & & = & &\;0\cdot k_0 &}$ Это непонятно, прошу помочь разобраться.


Могу предложить решение — для соответствия определению функции записать нашу функцию производной в точке через равносильное выражение: $0\cdot k_0 \cdot x^0$
$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[dddl]_{y} & & \rightarrow & X\ar[dddr]^{x} &\\& & & & &\\& & & & &\\& & & & &\\f(x)& & & = & &0\cdot k_0\cdot x^0 & }$Теперь всё в порядке?

[Maslov]

Есть такие "специциальные" функции, значение которых постоянно, т.е. не зависит от аргумента. Другими словами, всем значениям аргумента $x \in X$ соответствует одно и то же значение функции $y_0 \in Y$. Такие функции называются константами. Например, функция $F(x) = 1$ -- это константа, $F(x) = k_0$ -- это тоже константа. Производная постоянной функции тождественно равна $0$.

Вы бы хоть школьный учебник почитали.

[errnough]

Невнимательный я :( стрелка между отображаемыми множествами была не в ту сторону у меня... Правильно так: $Y \leftarrow & X$. Это типографская ошибка, рассуждений это не изменяет.

[Maslov]

Очень рекомендую Вам вполне доступный учебник Липман Берс. Математический анализ. Т. I. до главы "4. Производные" включительно.
И задачки порешайте (они там несложные).

[errnough]

Ув. М.Маслов, из того, что Вы написали, из того, что я нашел в пятитомной математической энциклопедии под ред. Виноградова, складывается следующее:

$f(x)=c$, где $c$ — константа,
эта функция задает единственную точку.

$f(x)=c \cdot x^0$, где $c$ — константа,
эта функция задает прямую, без точки $x=0$.
-----------------------------------------------

Вот мои рассуждения:

Вы пишите: Есть такие "специальные" функции, значение которых постоянно..."

В соответствии с определением из источника, [Виноградов, см. выше], значение функции обозначается записью $f(x)$. Эту часть Вашей фразы изобразим диаграммой:

$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \leftarrow & X &\\& & & & &\\f(x)& & & = & & &}$
Далее хочу разобраться с элементами множества $X$.

Поскольку Вы не стали что-либо утверждать о верности моего предложения исправить неясную ситуацию с записью функции без записи в правой части символа $x$ под числовые значения аргумента, и не утверждаете, что определение функции из моего источника ложное, и при этом считаете, что функция в записи $f(x)=0\cdot k_0$ задана верно, то такой элемент $x\in X$ существует. На какой символ направить стрелку от множества $X$ я не знаю, поэтому направил на всё, что стоит в правой части от знака равенства. Получилась следующая диаграмма:

$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \leftarrow & X\ar[ddr]^{x\in X} &\\& & & & &\\f(x)& & & = & &0\cdot k_0 &}$

Если единственность нулевого элемента в числовом поле $R$ Вами не отрицается и $0\cdot k_0$ тождественно нулю, то множество $X$, из определения функции, состоит из единственного элемента, ноля. Вы пишите: «соответствует одно и то же значение функции $y_0 \in Y$» что точно также, суть одно и то же число. Отсюда следует, что множество $Y$, из определения функции, состоит из единственного элемента. Мы даже можем упростить нашу диаграмму:

$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \leftarrow & X\ar[ddr]^{x\in X} &\\& & & & &\\y_0 & & & = & &0\cdot k_0 &}$

Тогда по определению функции, она задает соответствие $Y\leftarrow X$, и данное отображение есть однозначное отображение ровно двух элементов. В алгебраической записи эти два элемента $(x_0,y_0)$ задают единственную точку в поле $R$.

Вы же утверждаете, что $f(x)=c$, где $c$ — константа, задает отображение континиума $x\in X$ в единственную точку $y_0$.

Если Вы видите ошибку в моих рассуждениях, то помогите в ней разобраться.

PS_________________

Кстати, если на координатной плоскости для числа $c$ надо указать соответствующую точку $y_0$ на оси $Y$, то пишут именно так: $y_0=c$ (обсуждаемое нами уравнение). А если на оси $X$, то $x_0=c$. Это не противоречит моему заключению.

[Maslov]

Ув. А. Куликов,

Не надо читать пятитомную математическую энциклопедию под ред. Виноградова: она написана для людей, имеющих базовую математическую подготовку. Вы же, судя по Вашей неспособности продифференцировать функцию $F(x) = c$, к таковым не относитесь. Почитайте простой учебник, о котором я писал выше. Если же и в нём Вы не найдёте ответа на свой исходный вопрос (о производной константы в точке $x = 1.25$), то, скорее всего, математика просто не для Вас; попробуйте заняться чем-нибудь другим, например, литературой, музыкой, философией, на худой конец.

А вообще, читая Ваши выступления на нашем форуме и на форуме SciTecLibrary (http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 67039931/0), поневоле приходишь к мысли, что Вы самый обыкновенный тролль.

[errnough]

(Оффтоп)

Ув. М.Маслов,

я попросил обычной помощи у математического сообщества, в соответствующем подфоруме, проверить на наличие ошибок мои заключения и рассуждения, при этом не выдвигаю никаких своих теорий. Всё сведется в конце к существованию производной в точке склейки разных функций. Не вижу повода на этом вопросе обсуждать мою личность :)

Единственный совет от Вас по существу, в помощи по вопросу из темы, заключается в том, чтобы не читать Виноградова, а читать другое, Липманов-Берсов, школьные учебники. А почему? Неужели доказательность и истинность в математическом контексте меняется от выбора источника цитирования? Достаточно просто сказать, что цитированное мной — заблуждение или ложное утверждение. По-моему, редакционная коллегия под руководством академика Виноградова вполне может конкурировать со школьным учебником и пр. Виноградов работал в должности директора Математического Института им. В. А. Стеклова, ведущего математического института страны, с момента его организации в 1934 г. до своей смерти в 1983 г. Мне кажется, Ваш совет некорректный.

Свои тексты я всегда подписываю, даю почитать мои друзьям, родным, и всем желающим. Если есть желание обсуждать дискуссию по ссылке, приглашаю на тот форум, на который Вы любезно дали ссылку. Только формат общения там посвободнее, и модератор темы не закрывает, и не вмешивается... :) Так что добро пожаловать.

Спасибо и за такие советы.

[Maslov]

errnough в сообщении #313667 писал(а):

По-моему, редакционная коллегия под руководством академика Виноградова вполне может конкурировать со школьным учебником

Если, читая энциклопедию, Вы не поняли, как функция может на всей области определения принимать одно и то же значение и как вычислить производную такой функции, значит надо обратиться к школьным учебникам.
В отношении же Ваших рассуждений расписываюсь в своей полной беспомощности: я их не понимаю, поэтому проверить на наличие ошибок не могу.

[errnough]

Maslov в сообщении #313712 писал(а):

В отношении же Ваших рассуждений расписываюсь в своей полной беспомощности: я их не понимаю, поэтому проверить на наличие ошибок не могу.

Нужно просто с бОльшим юмором подходить к непониманию. Например, вольтметр, который показывает одно и то же значение, не ФУНКЦИонирует. У него нет функции... Он сломан :) Вообще, все мои интересы в математике исключительно практические. Если спрашиваю про точку соединения двух кусков параболы или параболы и прямой, то это означает, что наблюдаю некий процесс, и что-то здесь не соответствует матанализу. А доверяю я только физической действительности.

Например, если бросить камень под углом к горизонту, то в верхней точке у него физическое ускорение движения есть ноль. Чтобы об этом не утверждали математики или философы. Не поверю, что Вы согласитесь с этим. Ваша математика это запрещает :)))

[paha]

errnough в сообщении #313737 писал(а):

Например, если бросить камень под углом к горизонту, то в верхней точке у него физическое ускорение движения есть ноль

в той точке, как и в любой другой, у него ускорение равно $9.81$м/$c^2$, т.е. $g$ -- ускорение свободного падения. Математика не мачеха, ничего не запрещает... окромя деления на ноль в средней школе

-- Пн апр 26, 2010 23:03:56 --

если бы ускорение было нулевым, то, согласно законом Ньютона, камень летел бы прямолинейно и равномерно

[Maslov]

(Оффтоп)

errnough в сообщении #313737 писал(а):

Нужно просто с бОльшим юмором подходить к непониманию.

А кто Вам сказал, что я подхожу к нему с меньшим юмором? Вы телепат? Я же развлекаюсь от души; просто лишних смайликов не люблю.

errnough в сообщении #313737 писал(а):

Например, если бросить камень под углом к горизонту, то в верхней точке у него физическое ускорение движения есть ноль.

No comments

[errnough]

Камень будет лететь не согласно законам имярек, а согласно физической действительности.

И что, вас не смущает, что вертикальная скорость брошенного камня, летящего по параболе, в верхней точке будет ноль? А производная от ноля есть ноль. Кстати, $g$ в физике по смыслу не ускорение, а напряженность гравитационного поля в данной точке. Иначе по вашей математике и лежащий неподвижно на поверхности Земли кирпич тоже непрерывно ускоряется к центру Земли :)

А не странен ли тот факт, что склееная из парабол функция с ветвями в разные стороны вверх-вниз не имеет второй производной в точке слейки, а вот с ветвями только вниз — имеет? Ничего в той области сознания, где обитает "дежавю" или интуиция, не шевельнулось? :)

[Maslov]

errnough в сообщении #313835 писал(а):

И что, вас не смущает, что вертикальная скорость брошенного камня, летящего по параболе, в верхней точке будет ноль? А производная от ноля есть ноль.

Откройте тайну: у функции $y(x) = x$ в точке $x = 0$ производная тоже $0$?

errnough в сообщении #313835 писал(а):

Ничего в той области сознания, где обитает "дежавю" или интуиция, не шевельнулось? :)

Нет. А должно было?

errnough в сообщении #313835 писал(а):

Кстати, $g$ в физике по смыслу не ускорение, а напряженность гравитационного поля в данной точке. Иначе по вашей математике и лежащий неподвижно на поверхности Земли кирпич тоже непрерывно ускоряется к центру Земли :)

Эту "теорию" лучше в дискуссионной физике обсуждать, а то и эту тему закроют (за офтопик).