дифур

[jetyb]

Надо найти решение дифференциального уравнения

$$xyy'+ay+bx=0,$$

где $a$ и $b$ - действительные постоянные.

Решить это уравнение стандартными способами не удалось. Можно решить уравнение

$$x\ddot{x}+a\dot{x}+bx=0,$$

а затем выразить $\dot{x}$ через $x$, но последнее уравнение тоже не поддается решению.

[ГАЗ-67]

Примите

$$y$$

в качестве независимой переменной . Далее

$$z(y)=1/(ay+bx)$$

.

Никак не справлюсь с расползанием строк . Извините .

[jetyb]

Получается уравнение
$-x\frac{\frac{z'}{z^2}-b}{a^2}\left(\frac{1}{z}-bx\right)+\frac{1}{z}=0$
Ну, если все домножить и раскрыть:
$(x-bx^2)z'+b^2x^2z^3+a^2z^2-bxz^2=0$
Не вижу пути решения получившегося уравнения: по мне оно только усложнилось.

Формулы центрируются, потому что Вы помещаете их в двойные \$\$. Так задаются выключные формулы. Для нормального отображения формул помещайте их в одинарные \$.

[mitia87]

Может поможет то, что написано в Камке:
1.$u(x) = y(x) - a \ln{x}$
2.$\eta(\xi) = \eta(bx) = u(x)$
В итоге вроде не легче:
$\eta'(\xi) = \frac{1}{\eta(\xi) - a \ln{\xi} + a \ln{b}}$

[V.V.]

Алгебра симметрий выписанного уравнения второго порядка одномерная. Значит, проинтегрировать до конца нельзя, можно только понизить порядок на единицу, что уже сделано.

[Padawan]

V.V.
Это не обязательно. Может решение в квадратурах существует, просто его можно найти только "методом тыка".

Есть ведь пример уравнения второго порядка, которое вообще группу не допускает, но решение его явно выписывается.

[V.V.]

Padawan, приведите пример, плиз.

[Padawan]

Пример из книжки Н. Х. Ибрагимова "Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений" ( уравнение (2.42) )

$$ y''=[(x+x^2)y'+(1+2x)]e^y $$

[V.V.]

Padawan в сообщении #312259 писал(а):

Пример из книжки Н. Х. Ибрагимова "Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений" ( уравнение (2.42) )

$$ y''=[(x+x^2)y'+(1+2x)]e^y $$

Симметрии: $\partial_x-\frac{1+2x}{x+x^2}\partial_u$, $x\partial_x-\frac{2+3x}{1+x}\partial_u$.

Еще примеры есть?

[Padawan]

Не подходит! $\partial_u$ это у Вас $\partial_y$ имеется ввиду?

[V.V.]

Padawan в сообщении #312423 писал(а):

Не подходит! $\partial_u$ это у Вас $\partial_y$ имеется ввиду?

Да, $\partial_y$.

[Padawan]

Я подставил в определяющее уравнение, нуль не получается. В Maple считал.

[jetyb]

Так, ясно: как решать данное уравнение никто тут не знает.

Может быть, кто-нибудь посоветует книжку(вроде справочника), в которой классифицированы дифференциальные уравнения и указаны способы их решения. Меня интересует не студенческий задачник(сам их уже просматривал), а что-нибудь посерьезнее.

[Padawan]

Камке Э. Справочник по ОДУ, 1971

[terminator-II]

jetyb:

Если уравнение не списано из задачника, а взято то, что называется из real life то его практически наверняка нельзя решить в квадратурах. Это всем очевидно примерно с середины19 века как минимум. Хотя есть, конечно, всякие строгие результаты, которые объясняют что значит "практически наверняка". Поэтому вопрос обычно ставится не о решении уравнения , а о выяснении тех качественных свойств его решения, которые нужны Вам для Вашей задачи. Учитесь правильно формулировать вопрос.