2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 дифур
Сообщение21.04.2010, 09:53 
Надо найти решение дифференциального уравнения
$$xyy'+ay+bx=0,$$где $a$ и $b$ - действительные постоянные.

Решить это уравнение стандартными способами не удалось. Можно решить уравнение
$$x\ddot{x}+a\dot{x}+bx=0,$$а затем выразить $\dot{x}$ через $x$, но последнее уравнение тоже не поддается решению.

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение22.04.2010, 07:29 
Примите $$y$$ в качестве независимой переменной . Далее $$z(y)=1/(ay+bx)$$ .

Никак не справлюсь с расползанием строк . Извините .

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение22.04.2010, 15:20 
Получается уравнение
$-x\frac{\frac{z'}{z^2}-b}{a^2}\left(\frac{1}{z}-bx\right)+\frac{1}{z}=0$
Ну, если все домножить и раскрыть:
$(x-bx^2)z'+b^2x^2z^3+a^2z^2-bxz^2=0$
Не вижу пути решения получившегося уравнения: по мне оно только усложнилось.

Формулы центрируются, потому что Вы помещаете их в двойные \$\$. Так задаются выключные формулы. Для нормального отображения формул помещайте их в одинарные \$.

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение22.04.2010, 15:35 
Может поможет то, что написано в Камке:
1.$u(x) = y(x) - a  \ln{x}$
2.$\eta(\xi) = \eta(bx) = u(x)$
В итоге вроде не легче:
$\eta'(\xi) = \frac{1}{\eta(\xi) - a \ln{\xi} + a \ln{b}}$

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение22.04.2010, 16:51 
Алгебра симметрий выписанного уравнения второго порядка одномерная. Значит, проинтегрировать до конца нельзя, можно только понизить порядок на единицу, что уже сделано.

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение22.04.2010, 18:26 
V.V.
Это не обязательно. Может решение в квадратурах существует, просто его можно найти только "методом тыка".

Есть ведь пример уравнения второго порядка, которое вообще группу не допускает, но решение его явно выписывается.

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение22.04.2010, 20:02 
Padawan, приведите пример, плиз.

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение22.04.2010, 21:32 
Пример из книжки Н. Х. Ибрагимова "Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений" ( уравнение (2.42) )
$$
y''=[(x+x^2)y'+(1+2x)]e^y
$$

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение23.04.2010, 10:51 
Padawan в сообщении #312259 писал(а):
Пример из книжки Н. Х. Ибрагимова "Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений" ( уравнение (2.42) )
$$
y''=[(x+x^2)y'+(1+2x)]e^y
$$


Симметрии: $\partial_x-\frac{1+2x}{x+x^2}\partial_u$, $x\partial_x-\frac{2+3x}{1+x}\partial_u$.

Еще примеры есть?

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение23.04.2010, 13:06 
Не подходит! $\partial_u$ это у Вас $\partial_y$ имеется ввиду?

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение23.04.2010, 13:44 
Padawan в сообщении #312423 писал(а):
Не подходит! $\partial_u$ это у Вас $\partial_y$ имеется ввиду?


Да, $\partial_y$.

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение23.04.2010, 13:46 
Я подставил в определяющее уравнение, нуль не получается. В Maple считал.

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение23.04.2010, 23:02 
Так, ясно: как решать данное уравнение никто тут не знает.

Может быть, кто-нибудь посоветует книжку(вроде справочника), в которой классифицированы дифференциальные уравнения и указаны способы их решения. Меня интересует не студенческий задачник(сам их уже просматривал), а что-нибудь посерьезнее.

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение24.04.2010, 09:23 
Камке Э. Справочник по ОДУ, 1971

 
 
 
 Re: дифур
Сообщение24.04.2010, 18:33 
jetyb:

Если уравнение не списано из задачника, а взято то, что называется из real life то его практически наверняка нельзя решить в квадратурах. Это всем очевидно примерно с середины19 века как минимум. Хотя есть, конечно, всякие строгие результаты, которые объясняют что значит "практически наверняка". Поэтому вопрос обычно ставится не о решении уравнения , а о выяснении тех качественных свойств его решения, которые нужны Вам для Вашей задачи. Учитесь правильно формулировать вопрос.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group