Вывод релятивистской механики из Пуанкаре-инвариантности

[vek88]

Вот полезная информация к вопросу о происхождении моего интереса к представлениям алгебры Пуанкаре. Добавлю, что "ничья" здесь относится именно к представлениям алгебры Пуанкаре.

vek88 в сообщении #290158 писал(а):

Quantrinas в сообщении #290143 писал(а):

vek88 в сообщении #290108 писал(а):

И прекрасно знаю главное преимущество Дилетанта - он не знает, что ЭТО невозможно, и поэтому делает ЭТО.

Разве что в виде исключения. Очень редко. Ничего хорошего без знаний не сделаешь.

Уважаемый Quantrinas! Вы уж совсем прямолинейно воприняли мои слова про дилетанта. А я ведь уточнил в каком смысле я об этом говорю - в смысле начать новую жизнь (в новой области) с чистого листа.

Но при этом так получалось, что сначала я сам себе ставил задачу в новой области - по незнанию очень сложную или даже нереальную (знал бы - не взялся). Здесь преимущество Дилетанта и выражалось в незнании сложности задач.

А потом изучал литературу - типичные масштабы порядка 10-20 тысяч страниц все подряд по теме в течение нескольких месяцев. А затем много работал - несколько лет. Не всегда приводило к успеху - пока счет 3,5:0,5 (очень условно, три партии выйграл, одна ничья). Ничья случилась совсем в молодости, но ничья почетная для меня - в каком-то смысле воспоминание о ней греет душу больше, чем ученые степени.

А вот сейчас, когда у меня все есть, в том числе время, попробую переиграть эту ничейную партию. Или, во всяком случае, поработать над этой темой еще.

[vek88]

(Оффтоп)

Итак, аспирант забил на ядерную физику и занялся единой квантовой теорией поля. Откуда возникла эта идея? Понятия не имею - похоже, из общих соображений. Разумеется, в то время ничего не знал о задаче, поставленной Дираком в 1949 г. И вообще ничего не знал. Да и как мог что-либо узнать тогда - ведь даже сейчас не знал правильных терминов для поиска в Интернете. И только блгдря myhand, приславшему правильную статью на правильную тему, мне удалось найти много полезного на эту тему. А в то время мог бы узнать только от других ученых - но знающих об этой теме (и о задаче Дирака) в моем круге общения не оказалось. Но, тем не менее, почему-то пошел в правильном направлении.

Задачу поставил, насколько помню, так. Дано пространство состояний - пространство Фока (прямая сумма прямых произведений $n (n=0,1, 2...)$ одночастичных гильбертовых пространств. Требуется найти представление алгебры Пуанкаре операторами специального вида, действующими в этом пространстве состояний. На постановку задачи ушло года два. Потом пытался решить задачу.

Результат - ничего кроме тривиального случая невзаимодействующих частиц найти не удалось. От безысходности попытался рассмотреть нерелятивистский случай - нет проблем (для случая постоянства числа частиц).

Опять же от безысходности ушел в механику (на языке скобок Пуассона в обычном фазовом пространстве) - эффект тот же - в релятивистском случае не удается найти нетривиальное взаимодействие. Много позже, правда, когда тему забросил, все-таки ради хохмы на досуге нашел нетривиальное двухчастичное взаимодействие, но перенести его на случай $n>2$ частиц не удалось.

А время идет - как-то быстро закончился срок аспирантуры, а результат - ноль. Был бы подкован в продвижении научных идей, хоть бы опубликовал пару работ на эту тему (как говорят, застолбил). Но об этом не думал - жил голым энтузазизмом.

В конце срока аспирантуры пришел к руководителю. Он спрашивает - ну, что сделали?

To be continued.

[vek88]

(Оффтоп)

А что сделал? Да ничегос. Ну вот разве что ... .

Выслушал профессор. Конечно, высказался о бродяжничестве ... вне столбового русла науки. Но зауважал. Хотя бы за то, что не пропьянствовал три года аспирантуры, ... а что-то е-мое сотворил.

Послал ... к своему знакомому (далее - В.С.) к. ф.-м. н., специалисту в квантовой теории поля.

Приехал к В.С. домой, рассказал свою идею - фикус. Мужик аж затащился. Слушайте, говорит, такая интересная задача - руки чешутся - хочется заняться решением этой задачи.

To make a long story short - В.С. устроил мне семинар в отделе теоретической физики в ... ИМХО самой уважаемой организации в СССР и в мире. Меня слушали где-то 30-40 минут. Уже одно то, что не дали по зад через 5 минут - это уже комплимент для меня.

Выслушали - подумали. И, как это ни жестко, должен благодарить за вердикт: Вы корректно поставили задачу. Или, во всяком случае, ее можно поставить корректно. Но ведь Вы же не нашли ни одного нетривиального решения.

С этим я и ушел ... и переквалифицировался в дворники. Шучу. К счастью, где-то в 16-17 лет я поставил себе три интересных задачи. Первой была теория поля (разумеется, в 16-17 лет я представлял это весьма смутно). Со спокойным совестем, с чувством исполненного долга, я ушел на следующую задачу. И больше так не дурил - брался за сложные задачи, но больше не брался за неразрешимые.

При этом остался благодарным и своему руководителю, и В.С., и участникам семинара, за то, что объективно оценили, а не послали нах-нах.

To be continued.

[AlexDem]

vek88 в сообщении #310616 писал(а):

Задачу поставил, насколько помню, так. Дано пространство состояний - пространство Фока (прямая сумма прямых произведений $n(n=0,1,2...)$ одночастичных гильбертовых пространств. Требуется найти представление алгебры Пуанкаре операторами специального вида, действующими в этом пространстве состояний.
Результат - ничего кроме тривиального случая невзаимодействующих частиц найти не удалось.

vek88, а не посмотрите тогда мой опус - Неунитарные операторы эволюции? (постановка вопроса - в начале темы)

[vek88]

AlexDem в сообщении #310705 писал(а):

vek88, а не посмотрите тогда мой опус - Неунитарные операторы эволюции? (постановка вопроса - в начале темы)

Посмотрю, но не сразу и не быстро. Плюс, не забывайте, что физикой я занимался очень давно и ... навыки растерял. Но основы, надеюсь, не забыл.

[vek88]

Наконец, у меня снова появилось свободное время. Но за то время, пока его у меня не было, фон темы кардинально изменился блгдря myhand, который объяснил нам, что задача давно известна.

Начинал я эту тему, чтобы поделиться с коллегами интересной задачей. Так мне казалось. Но оказалось, что так казалось не только мне, но и некоторым ученым. И ... даже Дираку, который, как оказалось, поставил эту задачу раньше меня. Так что могу гордиться тем, что поставил эту задачу независимо от Дирака.

Это была лирика. А если серьезно, положение печальное. Посмотрев публикации на эту тему, сделал следующие выводы.

1. Тема действительно до сих пор на обочине столбового русла науки. В частности, этим мало кто занимается и публикаций ничтожно мало.

2. Задача действительно неподъемная, судя по отсутствию нетривиальных результатов.

3. Вот и славно, что я потратил на эту тему всего три года аспирантуры и вовремя слинял.

Тем не менее, с любимыми не расстаются - а я до сих пор люблю эту тему. Тем более, что прочитанные публикации по данной теме ничего принципиально нового по существу вопроса мне не сообщили.

С учетом сказанного, продолжу тему в соответствии с прежними планами. Но теперь постараюсь подкреплять свои мысли ссылками на публикации.

[myhand]

vek88 в сообщении #312067 писал(а):

Начинал я эту тему, чтобы поделиться с коллегами интересной задачей. Так мне казалось. Но оказалось, что так казалось не только мне, но и некоторым ученым. И ... даже Дираку, который, как оказалось, поставил эту задачу раньше меня. Так что могу гордиться тем, что поставил эту задачу независимо от Дирака.

Не Вы один ;) Ваш покорный слуга - тоже занимался достаточно плотно такими вещами в аспирантуре.

vek88 в сообщении #312067 писал(а):

1. Тема действительно до сих пор на обочине столбового русла науки. В частности, этим мало кто занимается и публикаций ничтожно мало.

Зато за достаточно большой период (а это начало развиваться, пожалуй, еще до 40-х годов прошлого века) наберется вполне порядочно...

vek88 в сообщении #312067 писал(а):

2. Задача действительно неподъемная, судя по отсутствию нетривиальных результатов.

Если Вы про примеры релятивистских межчастичных взаимодействий, без поля - то такие давно построены. Примеры я приводил.

Трудность в том, что большинство подобных теорий - не сводятся к просто гамильтоновой механике взаимодействующих точечных частиц. Хоть поля и нет - взаимодействие нелокально. Пример - электродинамика Уилера-Фейнмана. Как считать такие теории в общем случае - никто толком не знает. Отсюда и редкость нетривиальных физических предсказаний.

[vek88]

myhand в сообщении #312106 писал(а):

vek88 в сообщении #312067 писал(а):

Тема действительно до сих пор на обочине столбового русла науки. В частности, этим мало кто занимается и публикаций ничтожно мало.

(1) Зато за достаточно большой период (а это начало развиваться, пожалуй, еще до 40-х годов прошлого века) наберется вполне порядочно...

vek88 в сообщении #312067 писал(а):

Задача действительно неподъемная, судя по отсутствию нетривиальных результатов.

(2) Если Вы про примеры релятивистских межчастичных взаимодействий, без поля - то такие давно построены. Примеры я приводил.

Трудность в том, что большинство подобных теорий - не сводятся к просто гамильтоновой механике взаимодействующих точечных частиц. Хоть поля и нет - взаимодействие нелокально. Пример - электродинамика Уилера-Фейнмана. Как считать такие теории в общем случае - никто толком не знает. Отсюда и редкость нетривиальных физических предсказаний.

1. ИМХО до сих пор считаю именно это направление столбовым. Поэтому сказанное Вами о большом количестве публикаций за почти век не утешает.

2. Я имел в виду нетривиальные результаты + интересные для оснований физики и для широкой научной общественности. Таких результатов не вижу ... кроме самой постановки задачи!?

Однако, поскольку мы тут не одни, предлагаю рассказать широкой общественности кратко и понятно о данной теме, особенно, о трудностях решения задачи. В частности, в сравнении с Галилеевой инвариантностью.

[ИгорЪ]

vek88
Гамильтонианы свободных частиц - дело нехитрое. Вы ссылались на преимущества ДИЛЕТАНТА, теперь на Дирака - это нечестно, нескромно и уж точно не научно. Результатов то нет. Теперь по существу.
1. Чтобы отменить принцип наименьшего действия для получения только из чистой алгебры пространства времени Уравнений Движения надо иметь очень серьёзные основания. Их есть у вас? Нет. Любое взаимодействие не может описываться этой алгеброй. Как я понимаю, в этом ваша основная гипотеза? Пуанкаре или Галилей симметрии - это только кинематика. Динамика задаётся совсем другими - калибровочными симметриями, которые действуют в слое, а не в пространстве-времени.
2. Есть одно исключение. Конформные теории поля. Двумерные. Там кинематическая группа бесконечномерна и её хватает даже, чтобы точно решить теорию. Поэтому принцип наименьшего действия и лагранжев подход там не нужен, всё определяется бесконечномерной алгеброй кинематической симметрии. Вы возможно об этом мечтаете? Кстати струна - частный случай этих теорий.

[vek88]

(Оффтоп)

ИгорЪ в сообщении #312260 писал(а):

vek88
Гамильтонианы свободных частиц - дело нехитрое. Вы ссылались на преимущества ДИЛЕТАНТА, теперь на Дирака - это нечестно, нескромно и уж точно не научно. Результатов то нет. Теперь по существу.
1. Чтобы отменить принцип наименьшего действия для получения только из чистой алгебры пространства времени Уравнений Движения надо иметь очень серьёзные основания. Их есть у вас? Нет. Любое взаимодействие не может описываться этой алгеброй. Как я понимаю, в этом ваша основная гипотеза? Пуанкаре или Галилей симметрии - это только кинематика. Динамика задаётся совсем другими - калибровочными симметриями, которые действуют в слое, а не в пространстве-времени.
2. Есть одно исключение. Конформные теории поля. Двумерные. Там кинематическая группа бесконечномерна и её хватает даже, чтобы точно решить теорию. Поэтому принцип наименьшего действия и лагранжев подход там не нужен, всё определяется бесконечномерной алгеброй кинематической симметрии. Вы возможно об этом мечтаете? Кстати струна - частный случай этих теорий.

ИгорЪ! Вы такой умненький - придумайте сами что-нибудь соответствующее Вашей мудрости в ответ на свое сообщение. А теперь позвольте вернуться из Вашего офтопа в тему.

Напомним, что мы выбрали группу Пуанкаре, взяли ее коммутаторы. Затем мы выбрали фазовое пространство, соответствующее одной бесспиновой частице. Таким образом, состояние частицы определяется 6-вектором

$$(x_\alpha, p_\alpha).$$

Далее мы определили класс операторов в нашем фазовом пространстве на основе скобок Пуассона. Напомним, что скобки Пуассона в случае одной материальной точки определяются следующим образом. Пусть даны две функции $\varphi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ и $\psi(t, x_\alpha, p_\alpha)$.

$$[\varphi, \psi] =\frac{\partial \varphi}{\partial x_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial p_\alpha} -\frac{\partial \varphi}{\partial p_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial x_\alpha}.$$

Выражение $[\varphi, \psi]$ мы интерпретируем, либо как результат действия оператора $\varphi$ на функцию $\psi$, либо как коммутатор операторов $\varphi$ и $\psi$.

Оказалось, что генераторы 3-сдвигов $P_\alpha$ и 3-вращений $J_\alpha$ в релятивистском случае точно такие же, как и для группы Галилея. А генератор сдвигов во времени (гамильтониан) $H$ и генераторы переходов в движущуюся систему координат $X_\alpha$ имеют вид:

$$H= \sqrt{ p^2_\alpha + m^2},$$

$$X_\alpha = x_\alpha H.$$

Глядя на выражение для оператора $X_\alpha,$ мы замечаем, пожалуй, главную трудность релятивистского случая, а именно, тот факт, что в отличие от группы Галилея попытка ввести взаимодействие приведет к появлению этого самого взаимодействия не только в гамильтониане, но и в генераторах переходов в движущуюся систему координат! Другими словами, пытаясь добавить нетривиальное взаимодействие в гамильтониан, мы вынуждены включить это взаимодействие и в операторы $X_\alpha.$

Как следствие, наши уравнения для определения генераторов группы Пуанкаре - коммутаторы алгебры Пуанкаре - оказываются нелинейными относительно взаимодействия.

На это обратил внимание Дирак в своей статье Forms of Relativistic Dynamics в 1949 г., где и была поставлена рассматриваемая здесь задача (Rev. of Mod. Phys. 21, 3).

Напомним, что в нерелятивистском $n$-частичном случае мы искали гамильтониан в виде суммы "одночастичных" гамильтонианов, соответствующих свободному движению $n$ частиц, плюс слагаемые, отвечающие за взаимодействие. В простейшем случае - это "двухчастичные" взаимодействия. В силу линейности коммутаторов алгебры Галилея относительно взаимодействий дифференциальные уравнения для взаимодействия оказывались элементарными - достаточно было взять взаимодействие в виде скалярных функций, инвариантных относительно сдвигов координат и "сдвигов импульсов".

[myhand]

(Оффтоп)

ИгорЪ в сообщении #312260 писал(а):

Любое взаимодействие не может описываться этой алгеброй. Как я понимаю, в этом ваша основная гипотеза? Пуанкаре или Галилей симметрии - это только кинематика.

С чего это вдруг? Взаимодействующие частицы - также являются представлением группы движений пространства (группы Пуанкаре, например).

[vek88]

Итак, главная трудность при поиске взаимодействия для алгебры Пуанкаре – нелинейность коммутаторов (= уравнений) относительно взаимодействий. А дальше трудности нарастают как снежный ком. Оказывается, что в определенном смысле нелинейность повышает и порядок дифференциальных уравнений для взаимодействия. Поясним это на примере парных взаимодействий.

Итак, пусть у нас 2 частицы. Тогда ищем гамильтониан в виде

$$H = \sqrt{p^2_{1 \alpha} + m^2} + \sqrt{p^2_{2 \alpha} + m^2} + V_1_2,$$

где $V_1_2$ - слагаемое, отвечающее за взаимодействие частиц 1 и 2.

Предположим, что мы нашли решение соответствующих коммутаторов для двух частиц и дальше «по инерции» говорим, что для трех частиц все так же, но в гамильтониане теперь будут слагаемые $V_1_2, V_2_3, V_1_3.$ Но не тут-то было. Этот номер у нас не пройдет, поскольку теперь в коммутаторах появятся «трехчастичные» члены, например

$$[V_1_2, V_2_3],$$

которые совсем не обязаны удовлетворяться «автоматически». Таким образом, наличие нетривиального взаимодействия двух частиц в релятивистском случае не гарантирует наличия парных взаимодействий для $n>2$ частиц.

Суть данной проблемы хорошо изложена во введении статьи С. Н. Соколов, Релятивистское сложение прямых взаимодействий в точечной форме динамики, ТМФ том 36, № 2, август 1978.

Далее мы рассмотрим еще одну «трудность» - теорему об отсутствии взаимодействия. Правда эта трудность ИМХО – надуманная.

[vek88]

myhand в сообщении #309675 писал(а):

Хотите получить классический аналог "теоремы об отсутствии взаимодействия" (см. http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v35/i2/p350_1) ?

Очень кратко об этой статье. Суть ее в том, что авторы рассматривают два требования релятивистской инвариантности:

1. Наличие десяти генераторов группы Пуанкаре. Именно так мы и подходили к релятивистской инвариантности в данной теме.

2. Координаты каждой из взаимодействующих частиц удовлетворяют традиционным требованиям Лоренц-инвариантности.

Авторы приводят ссылки на статьи, где даны нетривиальные примеры генераторов для двух взаимодействующих частиц.

Авторы также доказывают, что добавление второго требования релятивистской инвариантности исключает возможность взаимодействия - это и есть no interaction theorem.

ИМХО это второе требование не является обязательным. Тем более, что ОТО приучила нас к тому, что взаимодействие (не обязательно гравитационное) изменяет метрику 4-пространства, что и показывает наличие компоненты взаимодействия в генераторах $X_\alpha.$

На этом, пожалуй, надо заканчивать эту тему. Добавлю лишь, что отмеченные выше трудности, обусловленные нелинейностью уравнений относительно взаимодействия, имеют универсальный характер, т.е. не зависят от конкретного вида пространства состояний и алгебры Ли операторов на этом пространстве. В частности, это могут быть фазовые пространства точечных частиц, квантовая механика $n$ частиц, нелокальная теория поля.

[myhand]

vek88 в сообщении #312558 писал(а):

ИМХО это второе требование не является обязательным. Тем более, что ОТО приучила нас к тому, что взаимодействие (не обязательно гравитационное) изменяет метрику 4-пространства, что и показывает наличие компоненты взаимодействия в генераторах $X_\alpha.$

В статье об "отсутствии взаимодействия" есть еще третий ключевой элемент - "одновременный" гамильтонов формализм. Когда координатное время в некоторой системе отсчета является независимым параметром в уравнениях Гамильтона.

Разрушив этот третий элемент - легко построить инвариантную теорию с межчастичным взаимодействием. Пример: модель Хилла, взаимодействие пары зарядов асимметричным образом (один действует на другой запаздывающими потенциалами - другой опережающими). В обзоре, который я цитировал - разбирается в частности и этот случай.