2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение21.04.2010, 09:40 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
Для каких треугольников $ABC$ угол $B_1C_1C$ равен углу $B_1A_1A$, где $AA_1,BB_1$ и $CC_1$ - биссектрисы?

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение21.04.2010, 21:03 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
Из теоремы синусов в $\Delta {B_1}{C_1}C$ находим: $\cot \angle {B_1}{C_1}C = \frac{{a - b + 2c}}{{a + b}}\sqrt {\frac{{p(p - c)}}{{(p - a)(p - b)}}} $. Из равенства углов получаем:
$(a - b + 2c)(b + c)(a + b - c) = (2a - b + c)(a + b)( - a + b + c)$;
$2(a - c)({b^2} - {a^2} - {c^2} - ac) = 0$,
т.е. либо треугольник равнобедренный, либо $\angle B = 120^\circ $.

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение21.04.2010, 21:11 


21/06/06
1721
Изображение

У меня несколько по другому.
Если, вспомнить что биссектрисы треугольника, построенного на основаниях этих биссектрис, есть его высоты, то все вполне понятно из рисунка.120 градусов непонятно откуда. Вот равнобедренный при вершине B - да.
А если угол B равен 120 градусам, то угол при вершине $B_1$ будет прямым, но не более.

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение22.04.2010, 04:46 


14/02/06
285
Цитата:
Если, вспомнить что биссектрисы треугольника, построенного на основаниях этих биссектрис, есть его высоты

Это неверно, Вы перепутали. Это высоты треугольника являются биссектрисами треугольника с вершинами в основаниях высот.

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение22.04.2010, 07:35 


21/06/06
1721
И то и то верно.
Вот задача, приведенная в задачнике по геометрии от Прасолова.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение22.04.2010, 07:56 


14/02/06
285
Цитата:
И то и то верно.

А что такое по-Вашему основания биссектрис? И где о них говорится в задаче 2.20?

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение22.04.2010, 08:09 


21/06/06
1721
Да понял уже. Ошибся.
Извиняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение22.04.2010, 20:29 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
Задача И.Ф.Шарыгина:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $120^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.

Сформулировать её можна и так:
В учебнике геометрии приведенна такая задача:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $...^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.

Величина угла $B$ в учебнике стерлась. Восстановите величину угла $B$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2010, 22:57 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Edward_Tur в сообщении #312241 писал(а):
Задача И.Ф.Шарыгина:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $120^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.


Может, надо найти угол $A_1B_1C_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение22.04.2010, 23:04 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
Да, сначала можно найти угол $A_1B_1C_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение22.04.2010, 23:45 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Про угол $B_1C_1C$ не знал. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение23.04.2010, 06:37 


14/02/06
285
Edward_Tur в сообщении #312241 писал(а):
Задача И.Ф.Шарыгина:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $120^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.

Сформулировать её можна и так:
В учебнике геометрии приведенна такая задача:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $...^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.

Величина угла $B$ в учебнике стерлась. Восстановите величину угла $B$.

Вы не забыли потребовать неравнобедренность и равенство углов?

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение23.04.2010, 08:49 


21/06/06
1721
Ну угол то $\angle B_1C_1C$ равен 30 градусам (если изначальную задачу брать за основную), но это ли имелось в виду?

Мне кажется, что нужно найти все такие углы $\angle B$, при которых угол $\angle B_1C_1C$ не зависит от величины углов $\angle A$ и $\angle C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение23.04.2010, 14:51 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Изображение


Докажем, что $B_1C_1$ - биссектриса угла $\angle BB_1A$. Действительно, $\frac{AC_1}{C_1B}= \frac {AB_1}{l_b}=\frac b a$.
Значит $BK$ - биссектриса угла $\angle ABB_1$ и угол $\angle AKB_1 = 120^0$. Значит около четырехугольника $C_1BLK$ можно описать окружность и $\angle B_1C_1C=30^0$.
Ну а угол $\angle C_1B_1A_1=90^0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: По задаче И.Ф.Шарыгина
Сообщение23.04.2010, 15:00 


21/06/06
1721
Ну это-то понятно. Хочется получить ответ на другую (так сказать обратную задачу), то есть найти все те углы $\angle B$, при которых величина угла $\angle B_1C_1C $ не зависит от углов $\angle A$ и $\angle С$.
По всей видимости так надо понимать постановку ВТОРОЙ ЗАДАЧИ уважаемого автора этой темы.
Или я неправильно понимаю?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group