По задаче И.Ф.Шарыгина

[Edward_Tur]

Для каких треугольников $ABC$ угол $B_1C_1C$ равен углу $B_1A_1A$, где $AA_1,BB_1$ и $CC_1$ - биссектрисы?

[Edward_Tur]

Из теоремы синусов в $\Delta {B_1}{C_1}C$ находим: $\cot \angle {B_1}{C_1}C = \frac{{a - b + 2c}}{{a + b}}\sqrt {\frac{{p(p - c)}}{{(p - a)(p - b)}}} $. Из равенства углов получаем:
$(a - b + 2c)(b + c)(a + b - c) = (2a - b + c)(a + b)( - a + b + c)$;
$2(a - c)({b^2} - {a^2} - {c^2} - ac) = 0$,
т.е. либо треугольник равнобедренный, либо $\angle B = 120^\circ $.

[Sasha2]

У меня несколько по другому.
Если, вспомнить что биссектрисы треугольника, построенного на основаниях этих биссектрис, есть его высоты, то все вполне понятно из рисунка.120 градусов непонятно откуда. Вот равнобедренный при вершине B - да.
А если угол B равен 120 градусам, то угол при вершине $B_1$ будет прямым, но не более.

[sergey1]

Цитата:

Если, вспомнить что биссектрисы треугольника, построенного на основаниях этих биссектрис, есть его высоты

Это неверно, Вы перепутали. Это высоты треугольника являются биссектрисами треугольника с вершинами в основаниях высот.

[Sasha2]

И то и то верно.
Вот задача, приведенная в задачнике по геометрии от Прасолова.

[sergey1]

Цитата:

И то и то верно.

А что такое по-Вашему основания биссектрис? И где о них говорится в задаче 2.20?

[Sasha2]

Да понял уже. Ошибся.
Извиняюсь.

[Edward_Tur]

Задача И.Ф.Шарыгина:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $120^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.

Сформулировать её можна и так:
В учебнике геометрии приведенна такая задача:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $...^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.
Величина угла $B$ в учебнике стерлась. Восстановите величину угла $B$.

[arqady]

Edward_Tur в сообщении #312241 писал(а):

Задача И.Ф.Шарыгина:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $120^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.

Может, надо найти угол $A_1B_1C_1$?

[Edward_Tur]

Да, сначала можно найти угол $A_1B_1C_1$.

[arqady]

Про угол $B_1C_1C$ не знал. Спасибо!

[sergey1]

Edward_Tur в сообщении #312241 писал(а):

Задача И.Ф.Шарыгина:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $120^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.

Сформулировать её можна и так:
В учебнике геометрии приведенна такая задача:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $...^\circ$, проведены биссектрисы $AA_1,BB_1$ и $CC_1$. Найдите угол $B_1C_1C$.
Величина угла $B$ в учебнике стерлась. Восстановите величину угла $B$.

Вы не забыли потребовать неравнобедренность и равенство углов?

[Sasha2]

Ну угол то $\angle B_1C_1C$ равен 30 градусам (если изначальную задачу брать за основную), но это ли имелось в виду?

Мне кажется, что нужно найти все такие углы $\angle B$, при которых угол $\angle B_1C_1C$ не зависит от величины углов $\angle A$ и $\angle C$.

[neo66]

Докажем, что $B_1C_1$ - биссектриса угла $\angle BB_1A$. Действительно, $\frac{AC_1}{C_1B}= \frac {AB_1}{l_b}=\frac b a$.
Значит $BK$ - биссектриса угла $\angle ABB_1$ и угол $\angle AKB_1 = 120^0$. Значит около четырехугольника $C_1BLK$ можно описать окружность и $\angle B_1C_1C=30^0$.
Ну а угол $\angle C_1B_1A_1=90^0$.

[Sasha2]

Ну это-то понятно. Хочется получить ответ на другую (так сказать обратную задачу), то есть найти все те углы $\angle B$, при которых величина угла $\angle B_1C_1C $ не зависит от углов $\angle A$ и $\angle С$.
По всей видимости так надо понимать постановку ВТОРОЙ ЗАДАЧИ уважаемого автора этой темы.
Или я неправильно понимаю?