Бесконечные кардинальные числа: n = n^2

[master]

Существует множество натуральных определено подмножество четных существует хотя бы одно натуральное не являющиеся элементом подмножества четных.

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #311144 писал(а):

Почему это должны быть ординалы? Или хотя бы одно из них?

Ну потому что мы именно так доказали. Предположили, что каждое множество сравнимо по мощности с каждым ординалом и вывели аксиому выбора :)

-- Пн апр 19, 2010 16:38:50 --

rishelie в сообщении #311144 писал(а):

без АС можно постулировать, что существует наибольший кардинал

(Оффтоп)

Католики думают, что Папа есть величайший кардинал. Математики с ними не могласны, ибо знают, что у каждого кардинала есть последователь :)

Хм... Мысль интересная, можно её попробовать помыслить...

rishelie в сообщении #311144 писал(а):

кстати, не исключено, что утверждение о том, что - единственный бесконечный кардинал, не противоречит ZF. и даже наверно не противоречит AD (аксиоме детерминированности). впрочем, это вроде банальщина из учебников?

Не знаю, первый раз об этом слышу. Не читал таких учебников

[rishelie]

Профессор Снэйп в сообщении #311162 писал(а):

Ну потому что мы именно так доказали. Предположили, что каждое множество сравнимо по мощности с каждым ординалом и вывели аксиому выбора :)

а, ну да.. я-то к печке уже вернулся мысленно :))
все-таки обедать вредно для мозга...
значит, из неАС следует, что найдутся несравнимые (несравненные ) множество $X$ и ординал $\alpha$, т.е. ни в ту, ни в другую сторону нет инъекции. и че? :))

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #311164 писал(а):

т.е. ни в ту, ни в другую сторону нет инъекции. и че?

И ничё, просто прикольно. Интересно, чему может быть равен такой $\alpha$. Ясно, что конечным он быть не может. Может ли он быть равным $\omega$?

[rishelie]

Обзовем такой ординал (для которого существует множество, с коим он несравним по мощности) несравнимым. Свойства:
1. если $\alpha$ - несравнимый, то любой $\beta>\alpha$ - тоже несравнимый
действительно, если из $\beta$ существует инъекция в $X$, то и из $\alpha$ существует. если же из $X$ существует инъекция в $\beta$, то обозначим через $\gamma$ порядковый тип области значений этой инъекции. Далее, если $\gamma>\alpha$, то можно построить инъекцию из $\alpha$ в $X$, а если $\gamma\le\alpha$, то можно построить инъекцию из $X$ в $\alpha$. В любом случае оказывается, что если $\beta$ можно сравнить с $X$, то и $\alpha$ можно сравнить с $X$.
2. если $\alpha$ - несравнимый и $\beta$ имеет такую же мощность, то $\beta$ - несравнимый (инвариантность по мощности).
очевидно.
3. наименьший несравнимый ординал является кардиналом.
следует из второго.
Назовем этот кардинал несравнимым и обозначим $\tau_0$.

Вопрос - существует ли кардинал больше $\tau_0$? :)
Сходу не вижу ответ...

4. Если множество $X$ несравнимо с $\alpha$, то оно несравнимо с любым ординалом $\beta>\alpha$.
собственно, это в первом и доказано.

[rishelie]

rishelie в сообщении #311168 писал(а):

4. Если множество $X$ несравнимо с $\alpha$, то оно несравнимо с любым ординалом $\beta>\alpha$

это можно усилить:
4. Если $X$ несравнимо с $\alpha$, то оно несравнимо с любым ординалом $\beta\ge\tau$, где $\tau=|\alpha|$.

Если $X$ несравнимо с каким-то ординалом, то назовем его экстраординальным :)

5. $X$ экстраординально тогда и только тогда, когда не существует инъекции из $X$ в любой ординал.
Док-во. Пусть $X$ несравнимо с $\alpha$ и есть инъекция из $X$ в $\beta$. Если $\beta>\alpha$, то сужение на $\alpha$ функции, обратной к данной инъекции, дает инъекцию из $\alpha$ в $X$.
Если $\beta<\alpha$, то мы имеем инъекию из $X$ в $\alpha$. В обоих случаях имеем сравниимость $X$ и $\alpha$.
Обратно. Пусть не существует инъекции из $X$ в любой ординал. Допустим, что существует инъекция из любого ординала в $X$. Но мы уже видели, что это приводит к выводу о том, что класс ${\rm Ord}$ суть множество, чего быть не может. Следовательно, существует ординал, из которого нет инъекции в $X$. Но и обратной инъекции нет по условию. Значит, $X$ несравимо с данным ординалом.

6. $X$ экстраординально тогда и только тогда, когда у него нет мощности.
Д-во. Если $X$ не экстраординально, то существует инъекция из $X$ в некоторый ординал (по предыдущему) и, значит, можно найти равномощный кардинал, т.е. мощность. Обратное тривиально.

Для экстраординального $X$ можно определить квазимощность $\tau_0(X)$ как наименьший ординал, с которым $X$ несравнимо.

7. $\tau_0(X)$ является кардиналом и для любого $\alpha<\tau_0(X)$ существует инъекция из $\alpha$ в $X$.
следует из 5.

rishelie в сообщении #311168 писал(а):

Вопрос - существует ли кардинал больше $\tau_0$? :)

походу это независимое утверждение...
как и то, что $\tau_0=\omega$ или другому какому-то известному кардиналу

[rishelie]

8. Если $X$ экстраординально и $X\subseteq Y$, то $Y$ экстраординально.
следует из 5.

9. $X\subseteq Y$ - экстраординальны, тогда $\tau_0(X)\le\tau_0(Y)$.
(если это не так, то существует инъекция из $\tau_0(Y)$ в $X$, а значит, и в $Y$, по св-ву 7)

[rishelie]

Кстати, вот что интересно. Если $X$ экстраординально, то $Y={\rm Exp(X)}$ также экстраординально.
Действительно, в $Y$ есть подмножество, равномощное $X$: $\{y|\;\exists x\in X:\;y=\{x\}\}$. Ясно, что оно экстраординально и содержится в $Y$, поэтому $Y$ экстраординально.
Так вот, если предположить, что $\tau_0$ - максимальный кардинал, то $\tau_0(X)=\tau_0(Y)=\tau_0$, иначе говоря, $X$ и $Y$ неравномощны (теорема Кантора), но их квазимощности равны.