Интересно, а теорема о том, что любые два множества сравнимы по мощности, строго следует из аксиомы выбора или эквивалентна ей?
берем произвольное множество

. оно сравнимо по мощности с любым кардиналом - либо вкладывается в него инъекцией, либо поглощает его (т.е. существует инъекция с данного кардинала в

). первый случай сразу дает вполне упорядочение

.
если же любой кардинал вкладывается в

, то нужно построить инъективное отображение с класса ординалов в

.
думаю, тут придется применять рекурсию по кардиналам.
допустим, что для всех кардиналов

построена монотонно возрастающая цепь инъекций

. нужно построить

.
если

- предельный кардинал, то полагаем

если

(сложение на кардиналах) для некоторого

, то берем произвольную инъекцию

и обозначаем область значений

через

. Теперь из

удалим образ

, полагая
![$Z=Y\setminus f_k[k]$ $Z=Y\setminus f_k[k]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/3/9e3b27ad2c56ffd2ae39be48512ced7782.png)
.
Множество

имеет мощность

(тут ведь не нужно использовать АС, не так ли?).
Множество

также имеет мощность

. Следовательно, существует биекция

. Но тогда

--- инъекция из

в

, содержащая все инъекции

,

.
Итак, можно построить класс инъекций

для всех кардиналов

, обладающих тем свойством, что они линейно упорядочены по вложению, т.е. образуют цепь. Тогда объединение этой цепи будет инъективным отображением из класса ординалов в

. Противоречие.
вот что на ночь глядя лезет в голову :)