Равностороний треугольник.

[daogiauvang]

Дан равносторонний треугольник $ABC$. Докажите, что $ 60< \angle{MAB}+\angle{MBC}+\angle{MCA} <120$ где $M$- точка лежащий внутри $ABC$

[Sasha2]

Левое неравенство заведомо неверно.
Проведите, например прямую AD, образующую уголо в 40 градусов со стороной AB, а затем проведите прямую BE, образующую угол также равный 40 градусам со стороной BC. В качестве точки M возмите точку пересечения этих двух прямых. Убедитесь легко, что она лежит внутри треугольника ABC и что сумма $\angle MAB + \angle MBC = 80^o$

[ewert]

Sasha2 в сообщении #310935 писал(а):

Левое неравенство заведомо неверно.

Левое неравенство равносильно правому. А контрпример не годится.

[Sasha2]

Да понял. Извиняюсь. Просто знак неравенства перепутал.

[master]

А там сумма не 90 будет(или с чем то другим перепутал)

[ewert]

master в сообщении #310989 писал(а):

А там сумма не 90 будет

Не будет. Она действительно зажата между 60 и 120, и эти границы -- точные.

[master]

ewert
Вы правы

[Sasha2]

Ну а как доказать то, задачка вроде простая, но вот так с ходу не получается.
Пробовал продолжать AM, BM и CM за точку M.
Получается куча треугольников, но практически везде имеет место тождества, на неравенства выйти как-то не удается.
Подскажите хоть, она решается так прямо или там нужно помощнее средства типа Чевы и Менелая, ну что-то проективное привлекать?

[master]

Sasha2
Попробуйте доказать что будет два угла каждый меньше 30.

[ewert]

master в сообщении #311118 писал(а):

Попробуйте доказать что будет два угла каждый меньше 30.

Не получится.

[master]

опишите окружность, киньте биссектрисы.

[Sasha2]

Да это тоже пробовалось. В смысле AM, BM и CM продолжались до пересечения с окружностью, описанной вокруг данного треугольника.
Ну все таки можно прямо получить ответ хотя бы на вопрос о том, РЕШАЕТСЯ ЛИ ЭТА ЗАДАЧА В ЛОБ ПРОСТЕНЬКИМИ СПОСОБАМИ, то есть надо из 12 треугольников что-то вылавливать типа повезет не повезет, вдруг случайно и наткнешься на нужную комбинацию, или же НУЖНО ПРИВЛЕКАТЬ ЧТО-ТО ПОМОЩНЕЕ.

[mitia87]

А если рассмотреть точку, симметричную относительно центра?

[mihiv]

To Sasha2
Нужно заметить,что если точка M лежит на высоте треугольника ABC,то сумма углов постоянна и равна $90^{\circ }$.Затем переводим точку M с высоты треугольника ABC в общее положение (для определенности считаем,что точка M лежала на высоте BK и передвигается параллельно основанию AC налево от высоты BK,AC горизонтально,вершина A слева)и смотрим, как при этом меняются $\angle {MAB},\angle {MBC},\angle {MCA}.$

[ewert]

mihiv в сообщении #311215 писал(а):

передвигается параллельно основанию AC

Не выйдет -- там, вообще говоря, не будет монотонности.