Равностороний треугольник.

[TOTAL]

Один из углов не меньше 30 градусов. Поэтому сумма двух других углов не больше 60 градусов. Поэтому сумма трёх углов не больше 120 градусов. Поэтому сумма трёх углов не меньше 60 градусов. Доказано всё.

[ewert]

TOTAL в сообщении #311315 писал(а):

Поэтому сумма трёх углов не меньше 60 градусов. Доказано всё.

Вот видите, я угадал. Логика действительно неправильная.

Вы доказали оценку снизу для нижней половины треугольника. Но оценка сверху из неё следует не для нижней, а для противоположной, верхней половины. Которая уже и так есть. Так что ничего не доказано.

Действуйте по-моему -- рассмотрите шесть маленьких треугольничков.

[TOTAL]

ewert в сообщении #311317 писал(а):

TOTAL в сообщении #311315 писал(а):

Поэтому сумма трёх углов не меньше 60 градусов. Доказано всё.

Вот видите, я угадал. Логика действительно неправильная.

Не меньшье 60 градусов потому, что сумма дополнений (до 60 градусов) каждого из углов не больше 120 градусов. Это было очевидно с самого начала. (Очевидно, что сумма минимального и максимального значений суммы углов равна 180 градусов.)

[ewert]

TOTAL в сообщении #311318 писал(а):

Не меньшье 60 градусов потому, что сумма дополнений (до 60 градусов) каждого из углов не больше 120 градусов. Это было очевидно с самого начала.

Нет.

С самого начала было очевидно, что если есть оценка сверху на всём треугольнике, то есть и оценка снизу (тоже на всём). И наоборот.

Но если есть оценка только в одну сторону на только половине треугольника, то оценка в другую сторону следует из неё для только зеркально противоположной половины.

(да, а маленькие треугольнички беру назад, проще без них)

[TOTAL]

ewert в сообщении #311319 писал(а):

Но если есть оценка только в одну сторону на только половине треугольника, то оценка в другую сторону следует из неё для только зеркально противоположной половины.

Вот это и было очевидно с самого начала.

[ewert]

TOTAL в сообщении #311321 писал(а):

Вот это и было очевидно с самого начала.

Тогда зачем было доказывать оценку снизу для нижней половины, которая заведомо бесполезна?

[TOTAL]

ewert в сообщении #311322 писал(а):

Тогда зачем было доказывать оценку снизу для нижней половины, которая заведомо бесполезна?

Не понимаю, о чем речь. Ни про какую нижнюю половину я ничего не доказывал.

[ewert]

TOTAL в сообщении #311323 писал(а):

Не понимаю, о чем речь. Ни про какую нижнюю половину я ничего не доказывал.

Тогда что же и для чего Вы доказывали?...

TOTAL в сообщении #311315 писал(а):

Поэтому сумма трёх углов не больше 120 градусов. Поэтому сумма трёх углов не меньше 60 градусов.

О каких в точности углах идёт речь? Откуда получается второе "поэтому"?...

Ничего невозможно понять.

Давайте аккуратнее. Есть четыре утверждения.

1). Оценка сверху для верхней половины.
2). Оценка снизу для верхней половины.
3). Оценка сверху для нижней половины.
4). Оценка снизу для нижней половины.

Из них надо доказывать какую-то одну пару. Например, 1 и 2; или 1 и 3 (поскольку 1 эквивалентно 4, а 2 эквивалентно 3).

Но внутри каждой из пар доказывать придётся по отдельности -- ситуации там совсем разные. (Если уж идти именно этим путём, чего делать вообще-то не следует.)

Ваше исходное доказательство (сообщение #311305 и сообщение #311309) относилось к утверждению 1.

Дальше понять уже ничего невозможно. Сформулируйте чётко, что в точности Вы доказывали в дополнение к утв. 1. И как в точности доказывали.

[master]

Пусть $AD$($D$ на $BC$) делит угол в отношении...виличена углов при основани $BC$ триугольника $MBC$($M$ на $AD$) зависит от этого отношения, надо вывести зависимость.

[ewert]

master в сообщении #311332 писал(а):

зависит от этого отношения, надо вывести зависимость.

Не надо, чересчур сложно.

[master]

ewert в сообщении #311333 писал(а):

чересчур сложно.

зато полезно

[ewert]

master в сообщении #311334 писал(а):

ewert в сообщении #311333 писал(а):

чересчур сложно.

зато полезно

Категорически вредно.

Ладно, какое-то тут занудство уже пошло. Попробуем реанимировать предыдущие попытки доказательства. Для определённости считаем, что вершина А расположена слева, вершина В справа и вершина С сверху.

Вариант mihiv.
Сажаем точку М на вертикальную высоту, опущенную из точки С. На ней сумма углов равна 90 градусам. Теперь смещаем точку М вправо по горизонтали. Углы МАВ и МВС при этом уменьшаются, а угол МСА может увеличиваться не более чем на 30 градусов. Следовательно, на всей правой половине треугольника сумма всех трёх углов не может оказаться больше 120 градусов.

Вариант TOTAL.
Проводим высоту из левой вершины А и рассматриваем верхнюю половину треугольника, выше этой высоты. Если точка М лежит в этой половине, то сумма углов МСА и МВС не больше 60 градусов, и угол МАВ тоже не больше 60 градусов. Следовательно, на всей верхней половине сумма всех трёх углов не больше 120 градусов.

В обоих вариантах доказано, что сумма трёх углов на одной из половин треугольника не превышает 120 градусов (насчёт альтернативной половины эти доказательства ничего не говорят).

А вот теперь надо воспользоваться симметрией задачи относительно разворотов картинки. Вследствие симметрии оценка сверху будет верна и для двух других половинок, полученных из исходной поворотом на 120 градусов. В совокупности эти три половинки перекрывают весь треугольник. Поэтому оценка сверху верна на всём треугольнике.

И вот тогда на всём треугольнике верна и оценка снизу (сумма всех трёх углов не меньше 60 градусов).

[TOTAL]

ewert в сообщении #311337 писал(а):

А вот теперь надо воспользоваться симметрией задачи относительно разворотов картинки. Вследствие симметрии оценка сверху будет верна и для двух других половинок, полученных из исходной поворотом на 120 градусов. В совокупности эти три половинки перекрывают весь треугольник. Поэтому оценка сверху верна на всём треугольнике.

Вместо всего этого у меня написано "Очевидно, один из трёх углов не меньше 30 градусов."

[ewert]

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #311338 писал(а):

Вместо всего этого у меня написано "Очевидно, один из трёх углов не меньше 30 градусов."

Надо бы на курсы экстрасенсов записаться...

[TOTAL]

master в сообщении #311332 писал(а):

Пусть $AD$($D$ на $BC$) делит угол в отношении...виличена углов при основани $BC$ триугольника $MBC$($M$ на $AD$) зависит от этого отношения, надо вывести зависимость.

Пожалуйста, доведите своё доказательство до конца и напишите его здесь.