Равностороний треугольник.

[master]

TOTAL в сообщении #311581 писал(а):

Батороев в сообщении #311422 писал(а):

Тем не менее, симметрию, по-видимому, можно использовать.

Зачем опираться на симметрию, если утверждение верно для любого треугольника.
Т.к. $MA$ -- наибольшее из расстояний $MA, MB, MC$, то сумма углов 1 и 3 не меньше угла $A$.
Т.к. $MB$ -- наименьшее из расстояний $MA, MB, MC$, то сумма углов 1 и 2 не больше угла $B$.
Таким образом, сумма углов 1, 2 и 3 не больше суммы двух наибольших углов треугольника.

действительно так лучше(как просто).
а я только вывел $\sin\angle1\sin\angle2\sin\angle3=\sin\angle4\sin\angle5\sin\angle6<\frac{\sqrt3}{8}$