гипотеза Римана

[wcl.AleX]

Кто нибудь может простыми словами объяснить мне в чём суть гипотезы и что надо доказать.
Прочитал материал в Википедии, но всё равно не понял.
Заранее благодарен всем участникам!

[Lyosha]

Джон Нэш пытался ее доказать и сошел с ума.Или он с начала сошел с ума,а потом пытался ее доказать.

[venco]

Суть в том, что у дзета функции Римана $\zeta(s) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}{1\over i^s}$ все нетривиальные нули ($Im(s) \ne 0$) лежат на прямой $Re(s) = {1\over 2}$.
Из этого свойства этой функции следует много свойств распределения простых чисел.

[Ales]

venco в сообщении #310683 писал(а):

Суть в том, что у дзета функции Римана $\zeta(s) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}{1\over i^s}$ все нетривиальные нули ($Im(s) \ne 0$) лежат на прямой $Re(s) = {1\over 2}$.
Из этого свойства этой функции следует много свойств распределения простых чисел.

$i$ - мнимая единица

[venco]

Ales в сообщении #310694 писал(а):

venco в сообщении #310683 писал(а):

Суть в том, что у дзета функции Римана $\zeta(s) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}{1\over i^s}$ все нетривиальные нули ($Im(s) \ne 0$) лежат на прямой $Re(s) = {1\over 2}$.
Из этого свойства этой функции следует много свойств распределения простых чисел.

$i$ - мнимая единица

$i$ - переменная суммирования. Можете заменить на $k$, а я - программист.

[age]

Дзета-функция - аналог дзета-функции Эйлера на комплексной плоскости.
Дзета-функция Эйлера дает значения суммы ряда для различных точек $k$:
$\zeta(k)=\sum\limits_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n^k}}$
Есть формула суммы такого ряда. Причем для положительных точек формула одна, для отрицательных - другая. Соотношение этих двух формул и есть функциональное соотношение дзета-функции.

Так вот, если рассмотреть разность между количеством простых, не больших $x$ и соотношением $\dfrac{x}{\ln(x)}$, то это отклонение как раз таки и определяется дзета-функцией Римана. А точнее, вещественной частью ее НЕтривиальных нулей. Ну и собственно, по гипотезе Римана все эти вещественные части равны $\dfrac12$.

Т.е. все нетривиальные нули дзета-функции лежат в комплексной плоскости на 1/2.

Что такое нетривиальные нули. Формула, по которой считается значение дзета-функции, содержит т.н. числа Бернулли $B_k$ (относящихся к суммам одинаковых степеней натуральных чисел) которые определяются через некоторое функциональное соотношение $\dfrac{x}{e^x-1}$. Из того, что эта функция - четная, следует, что все числа Бернулли $B_{2k+1}=0$. Т.е. все нечетные числа Бернулли равны нулю.
Они же зануляют и дзета-функцию в нечетных точках. Т.е. $\zeta(2k+1)=0$
Нетривиальные нули - это тоже точки, в которых дзета-функция равна нулю. Но отличные от четных чисел.

Т.е. отклонение $\pi(x)-\dfrac{x}{\ln(x)}$ - точного количества простых чисел, от теоретического, предсказанного соотношением $\dfrac{x}{\ln(x)}$ определяется именно нетривиальными нулями дзета-функции.
$\pi(x)-\dfrac{x}{\ln(x)}=-\sum\limits_{\rho}{\dfrac{x^{\rho}}{\rho}}$
где $\rho$ - вещественная часть нетривиальных нули дзета-функции Римана.

[Ales]

venco в сообщении #310695 писал(а):

я - программист.

когда есть какие-либо комплексные числа, это обозначение $i$ зарезервировано за мнимой единицей

аналогично $e$ или $\pi$ в анализе

-- Сб апр 17, 2010 22:00:14 --

но это конечно педантство

[age]

Вообще, сложная гипотеза. Потому что нетривиальных нулей с одной стороны очень мало, с другой - бесконечно много. Но все они имеют вещественную часть 1/2.

[Ales]

Для автора темы, специально статья, интересно
http://ega-math.narod.ru/Liv/Zagier.htm

[wcl.AleX]

Будем считать , что я всё понял:)
Проблема вот в чём. Обладая формулой простых чисел я могу точно сказать сколько простых от 1 до N, где N любое натуральное число.
Теперь собственно сам вопрос. Достаточно ли это для доказательства гипотезы? И если нет , то что нужно доказать (только с точки зрения простых чисел).
Просто недавно узнал , что это проблема тысячелетия и Институт Клея даёт за её доказательсво 1000000 долларов
Если чесно то я вообще - относительно недавно узнал о сущесвовании гипотезы. Моя основная тема -это простые числа.

[Ales]

wcl.AleX в сообщении #310717 писал(а):

Будем считать , что я всё понял:)
Проблема вот в чём. Обладая формулой простых чисел я могу точно сказать сколько простых от 1 до N, где N любое натуральное число.
Теперь собственно сам вопрос. Достаточно ли это для доказательства гипотезы? И если нет , то что нужно доказать (только с точки зрения простых чисел).
Просто недавно узнал , что это проблема тысячелетия и Институт Клея даёт за её доказательсво 1000000 долларов
Если чесно то я вообще - относительно недавно узнал о сущесвовании гипотезы. Моя основная тема -это простые числа.

Прочитайте статью в Википедии "Гипотеза Римана".
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 0%BD%D0%B0
Там написано, что она эквивалентна некоторому распределению простых чисел.

[age]

Ну если вы можете точно сказать $\pi(x)$ - сколько будет точно простых чисел в интервале до $x$, то нет ничего проще посчитать $\dfrac{x}{\ln(x)}$ и отклонение $\pi(x)-\dfrac{x}{\ln(x)}$. Для любого $x$. И сказать, равно ли оно
$\pi(x)-\dfrac{x}{\ln(x)}=-\sum\limits_{\rho}{2\sqrt{x}}$.
Но опять же надо найти нетривиальные нули. Хотя, по идее, там должна получаться сумма квадратных корней (если ничего не напутал).

[Ales]

Эта гипотеза Римана интересна в связи с распределением простых чисел.
Если сможешь уточнить распределение простых так, что из него будет следовать гипотеза Римана,
то ты сможешь справедливо потребовать миллион!!!

Круглые числа лучше простых.

[wcl.AleX]

a что это за Р под знаком суммы, и вообще для любого это для какого конкретно?Пожалуйста напишите подробнее..

[age]

wcl.AleX
Дело в том, что гипотеза Римана довольно сложна. И насколько я понимаю $\rho$ - это нетривиальные нули дзета функции в заданном промежутке. Но поскольку они все лежат на 1/2, то соотношение должно выполняться именно в таком виде.

Т.е. $-\sum\limits_{\rho}{2\sqrt{x}}=-2\rho\sqrt{x}$. Как-то так.

Если я ошибся, пусть меня поправят другие участники.