Физика столкновения на плоскости

[Spice]

Здравствуйте!
Пишу простенький физический движок на плоскости "для себя".
При описании столкновения тел возникла трудность с которой я никак не могу разобраться.
Насколько я понимаю, при соударении часть энергии поступательного движения тела преобразуется во вращательную и наоборот. А сумма этих энергий до удара и после будет, естественно, величиной постоянной. Конечно в случаи упругого удара, то есть без потери энергии на деформацию и нагревание.
Начал с относительно простого случая - столкновение квадрата со стеной.
Квадрат:
сторона: $a$
масса: $m$
скорость: $V_x$, $V_y=0$. То есть движение только вдоль оси $X$.
угловая скорость: $w=0$
Движется в сторону стены под углом $\alpha$.
Импульс тела до столкновения $p_0=m*v$
Так как удар упругий, в момент соударения на тело подействует импульс $p=m*v$ перпендикулярный плоскости стены. Проведем ось через центр тяжести квадрата (это будет его центр, так как масса распределена равномерно) и точку соударения. И спроецируем вектор импульса на эту ось и перпендикулярную ей. Получим $P_1$ - проекцию импульса на проведенную ось и $P_2$ - проекцию импульса на перпендикулярную ось. То есть $P_0^2=P_1^2+P_2^2$. Таким образом $P_1$ заставит тело двигаться поступательно в направлении проведенной оси со скоростью $V_1$, а $P_2$ - заставит тело вращаться. Рассчитаем угловую скорость тела после соударения. Момент инерции $L=r*P_2$ и $L=J*w$, отсюда $r*P_2=J*w$, значит $w=r*P_2/J$. Причем $r=\sqrt{2}*a$, $P_2=m*V_2$, а момент инерции квадрата относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости $J=m*a^2/6$ (из справочника). Таким образом $w=\sqrt{2}*a*m*V_2/(m*a^2/6)$.
В соответствии с законом сохранении энергии получаем: $E_0=E_1+E_2$, $m*v_0^2/2=m*v_1^2/2+J*w^2/2$. Подставив сюда полученную угловую скорость $w$ и упростив выражение получаем $V_0^2=V_1^2+12*V_2^2$, что противоречит теореме Пифагора.

Большая просьба к людям разбирающимся в физике подсказать, где именно в вычислениях я допустил ошибку. Или если я вообще не правильно рассуждаю, то подсказать в какую сторону копать. Заранее большое спасибо!!

[whiterussian]

Spice в сообщении #306533 писал(а):

Движется в сторону стены под углом $\alpha$.
Импульс тела до столкновения $p_0=m*v$
Так как удар упругий, в момент соударения на тело подействует импульс $p=m*v$ перпендикулярный плоскости стены.

В момент соудрения на тело подействует имульс $J=\Delta p_{\text{тела}}=2\cdot m\cdot v\cdot \sin\alpha$
Надеюсь, что я не поторопилась и поняла, о чем вы говорили....

[Spice]

Spice в сообщении #306533 писал(а):

Движется в сторону стены под углом $\alpha$.

Здесь я допустил неточность. Квадрат движется в сторону стены под прямым углом, так как

Spice в сообщении #306533 писал(а):

скорость: $V_x$, $V_y=0$. То есть движение только вдоль оси $X$.

, но повернут на некоторый угол $\alpha$ относительно своего геометрического центра.

whiterussian в сообщении #306558 писал(а):

В момент соудрения на тело подействует имульс $J=\Delta p_{\text{тела}}=2\cdot m\cdot v\cdot \sin\alpha$
Надеюсь, что я не поторопилась и поняла, о чем вы говорили....

Спасибо за ответ, whiterussian . Но ввиду моего уточнения это не совсем корректно. Да, изменение импульса будет $\Delta$P=2*m*V, так как до соударения он был $P_0=m*V$, а после - $P_1=-m*V$, то есть просто "отразится" от стены. Мне же необходимо рассчитать, как этот отраженный импульс перераспределится на вращательное и поступательное движение так, чтобы это не противоречило закону сохранения энергии. Я специально взял простейший случай и направил тело в сторону препятствия под прямым углом.

[Spice]

Жаль, что мой вопрос так и не нашел решения.
Попробую сформулировать его более точно, а так же приложу картинку, чтобы было нагляднее.

Поехали. Тело, с равномерно распределенной массой, движется под прямым углом к стене (неподвижное тело с бесконечно большой массой) без сопротивления среды. Тело - это квадрат со стороной $a$. Масса тела - $m$, скорость тела - $v_0$, импульс, соответственно - $p_0=m*v_0$.
В момент соударения на тело действует импульс $p$, равный по модулю $p_0$, но противоположный по направлению. Этот импульс можно разложить на $p_1$ - импульс, приложенный вдоль оси, проведенной между центром масс тела и точкой приложения импульса, и $p_2$ - импульс, приложенный перпендикулярно этой оси. Таким образом импульс $p_1$ придаст телу поступательное движение, а $p_2$ - вращательное.
Теперь считаем угловую скорость $w$, созданную импульсом $p_2$. Так как момент импульса $L=p*r$ и $L=J*w$, то $w=p*r/J$, где $p$ - это наш импульс $p_2$, $r=a/\sqrt2$, а $J=m*a^2/6$.
Итак, мы нашли скорость $v_1$ и угловую скорость $w$, с которыми тело будет продолжать двигаться после соударения.
Вопрос: правильно ли я решил задачу в общем виде.

ps В своем первом сообщении я допустил ошибку. Просьба апеллировать этим

[whiterussian]

Spice в сообщении #308997 писал(а):

В момент соударения на тело действует импульс $p$, равный по модулю $p_0$ , но противоположный по направлению.

Так именно здесь собака -то и порылась! Импульс равен $2p_0$

[Spice]

Хорошо, whiterussian, должен с тобой согласится.

Теперь решу задачу в численном виде.

$m=1, v_0=1, a=1$, следовательно $p_0=m*v_0=1, r=1/\sqrt2, J=m*a^2/2=1/2$. Угол $\alpha=\pi/6$.
Находим $P_x$ и $P_y$: $P_x=2*p_0*cos(\pi/4-\alpha)=2*cos(\pi/12)=1.93$$, P_y=2*p_0*sin(\pi/4-\alpha)=2*sin(\pi/12)=0.52$. Далее нахожу $w: w=p_y*r/J=0.52*(1/\sqrt2)/(1/2)=0.74$ и $V_x=P_x/m=1.93/1=1.93$.
Таким образом после столкновения модуль линейной скорости $V_x=1.93$, а угловая скорость $w=0.52$.

Возникает вопрос: почему тогда закон сохранения энергии не выполняется? $m*V_0^2/2=m*V_x^2/2+J*w^2/2$
Подставив числа получаем: $1=3.9987$.

[libra]

Прежде чем численно решать, надо все в общем виде рассмотреть.
Прежде всего следует учесть, что в момент изменения импульса (удара) вращение происходит не вокруг центра масс квадрата, а относительно угла касания. Т.е. момент инерции будет в 4 раза больше.
Второй усложняющий момент, то что после удара у квадрата будет не только вертикальная составляющая поступательной скорости, но и боковая.

[whiterussian]

момент инерции квадрата $J=\frac{ma^2}{6}$

[ewert]

libra в сообщении #309385 писал(а):

после удара у квадрата будет не только вертикальная составляющая поступательной скорости, но и боковая.

А почему, кстати?...

Если трения в момент удара нет, то никакой боковой составляющей, естественно, не будет.

Если есть -- то там всё совсем не просто. Ну или может просто мне ничего так особо простого в этом случае не видится.

[Spice]

whiterussian в сообщении #309525 писал(а):

момент инерции квадрата $J=\frac{ma^2}{6}$

Да, здесь я допустил ошибку. Правда принципиально это ничего не меняет. Вместо равенства 1=3.9987 получим 1=3.8162. Что может говорить только о том, что я принципиально неправильно решаю эту задачу.

libra в сообщении #309385 писал(а):

Прежде чем численно решать, надо все в общем виде рассмотреть.Прежде всего следует учесть, что в момент изменения импульса (удара) вращение происходит не вокруг центра масс квадрата, а относительно угла касания. Т.е. момент инерции будет в 4 раза больше.

Вот! Именно этот момент я, походу, не правильно понимаю. Правда если в моем решении просто увеличить момент инерции в 4 раза, все равно ничего не сойдется. libra, приведи пожалуйста вариант решения, который на твой взгляд является верным.

Spice в сообщении #309320 писал(а):

Второй усложняющий момент, то что после удара у квадрата будет не только вертикальная составляющая поступательной скорости, но и боковая.

А вот этот момент я учел. Когда вычислил модуль линейной скорости $V_x$, на рисунке показано, что она будет иметь не только вертикальную составляющую.

ewert в сообщении #309597 писал(а):

Если есть -- то там всё совсем не просто. Ну или может просто мне ничего так особо простого в этом случае не видится.

Именно из-за этого "не просто" я, собственно, и обратился за помощью в этот форум в поиске людей, разбирающимся в данной теме Очень бы хотелось увидеть не просто комментарии, а подходы к решению этой задачи.

[mihiv]

Для решения задачи нужно записать уравнения движения твердого тела:$\frac {d\vec P}{dt}=\vec F,\frac {d\vec L}{dt}={[\vec r,\vec F]}$,где $\vec P$-имрульс,$\vec L$-момент импульса тела,$\vec F$-сумма внешних сил.В нашем случае $\vec F$это сила упругости,действующая на квадрат в момент удара и приложенная к его вершине.
Из уравнений движения,получим изменения импульса и момента импульса за время удара (по модулю):$\Delta P=F\tau ,\Delta L\equiv L=rF\tau \sin (\frac {\pi }4-\alpha )$(здесь $\tau $-продолжительность удара),отсюда $L=\Delta Pr\sin(\frac {\pi }4-\alpha )\qquad (1)$.
Теперь записываем закон сохранения энергии:

$$\frac {L^2}{2J}+\frac {(P_0-\Delta P)^2}{2m}=\frac {P_0^2}{2m}.$$

И,учитывая соотношение (1) находим $\Delta P=\frac {2P_0}{1+3\sin^2(\frac{\pi}4-\alpha)}$.Учли,что $r=\frac a{\sqrt 2},J=\frac {ma^2}6.$По формуле (1) находим $\Delta L$