Теория чисел, теория остатков

[Алекс77]

Подскажите пожалуйста, как решать подобную систему уравнений:

$F_1 (x,y)=0 ( mod \,c )
$F_2 (x,y)=0 ( mod \,c )

$F_1, F_2$ - полиномы максимум второй степени.

[Профессор Снэйп]

Вам надо для конкретных $F_1$, $F_2$ систему решить или в общем виде?

В общем виде, боюсь, решения не существует. Причём не только в $\mathbb{Z}_c$, но и в более привычных числовых структурах, например, в $\mathbb{R}$...

[ИСН]

Нет, почему, может и быть. Если всего лишь второй степени-то.

[Профессор Снэйп]

Вы умеете решать в общем виде систему из двух квадратных уравнений (от двух неизвестных)?

Ну ка... Напишите общее решение (хотя бы в $\mathbb{R}$) системы

$$ \begin{cases} a_1 x^2 + b_1 xy + c_1 y^2 + d_1 x + e_1 y + f_1 = 0\\ a_2 x^2 + b_2 xy + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 y + f_2 = 0 \end{cases} $$

Или у Вас опять без формул, только картинкой?

-- Ср апр 14, 2010 19:16:33 --

Кстати, вроде есть какая-то теорема о приведении двух квадратичных форм к главным осям одновременно. Что-то такое смутно-смутно с первого курса помнится...

[Padawan]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп
Можно, если одна из них положительна определена. Положительно определенная приведется к сумме квадратов, а вторая просто к каноническому виду.

[ИСН]

Ой, не буду я ничего писать, там формулы противные. Оно сводится к уравнению 3-й или 4-й степени, которое "решается", но так, что лучше бы не решалось.
Но это почти никакого отношения не имеет к $\mathbb Z_c$. Фигасе "хотя бы". Там же вообще всё другое.

[Алекс77]

А можно ссылочку на эти уравнения 3-й и 4-й степени? :))
Мне пока нужно решить 2 подобные системы, но было бы неплохо знать теорию на данную тему.
Всем благодарен за ценные указания.

Кстати, в моих системах коэффициенты при квадратах переменных нулевые...

[ИСН]

Какие "эти"? Хотите искать решения в $\mathbb R$? Вроде с другого начинали.
(Да и не знаю я, как там лучше делать. Ну, скажем, подбираем линейную комбинацию этих двух уравнений - здесь мелькает число 3 - чтобы она получилась вырожденной, т.е. распалась на пару прямых. А искать пересечения прямой и кривой 2-го порядка - это уже банально.)
Но, минуточку, как это при квадратах - нулевые? А кто тогда второй степени?

[Ales]

Алекс77 в сообщении #309801 писал(а):

А можно ссылочку на эти уравнения 3-й и 4-й степени? :))
Мне пока нужно решить 2 подобные системы, но было бы неплохо знать теорию на данную тему.
Всем благодарен за ценные указания.

Кстати, в моих системах коэффициенты при квадратах переменных нулевые...

Не исключено, что решать придется подбором.
Диофантовы уравнения в конечном поле.
Возможно, что и теории нет никакой или она нетривиальна.

[Алекс77]

ИСН в сообщении #309829 писал(а):

А кто тогда второй степени?

Т.е. коэффициент при ху ненулевой :)))

[ИСН]

Но тогда всё совсем просто: выражаем x из первого уравнения, потом из второго, и приравниваем.
(В $\mathbb Z_c$ примерно так же, только с многочисленными реверансами типа "если то и это взаимно просты"...)

[Алекс77]

Меня смущает тот факт, что элемент
$x=\frac{ay+b}{dy+e} (mod\,c)$ как-то неоднозначен... тем более, что с может быть произвольным числом.

[ИСН]

Рассмотрите сначала случай с простым c.

[Алекс77]

С простым и так ясно - существование обратного элемента однозначно
В любом случае спасибо :)