Про отрезки

[Someone]

Sasha2 писал(а):

Честно говоря, это задача из олимпиад МФТИ для школьников.
Вот ее полное условие:
Даны 100 отрезков. Какое максимальное число прямоугольных
треугольников можно составить из троек этих отрезков? В каждом
треугольнике используются разные отрезки. Один отрезок может
участвовать в составлении нескольких треугольников.

Где-то я эту задачу встречал... Но это совсем не та задача, которую Вы сформулировали, открывая тему.

Sasha2 писал(а):

У меня сразу возникает вопрос. Можно ли это условие сделать как то попонятнее. Например, что значит разные

Ну, я бы это условие интерпретировал так. Представьте себе, что все отрезки снабжены этикетками, на которых написаны номера отрезков от 1 до 100. Если отрезки имеют одинаковую длину, то они различаются номерами на этикетках. Когда мы составляем из отрезков треугольник, то получаем (неупорядоченный) набор из трёх различных этикеток. Треугольники считаем разными, если у них разные наборы этикеток.

[Someone]

Someone писал(а):

у меня там всё-таки не $2n+1$ отрезков, а $2n+2$ или даже $3n$, а число треугольников - не $2n$, а $3n-2$, что, конечно, далеко от максимального, по крайней мере, в первом случае.

Конструкция описана здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=30782#30782.
Всё-таки неправильно посчитал треугольники для первого случая задачи (вершина треугольника не обязана быть концом отрезка). Там имеется по $C_n^2=\frac{n(n-1)}2$ треугольников $AC_iC_j$ и $BC_iC_j$ ($1\leqslant i<j\leqslant n$) и $n$ треугольников $ABC_k$ ($1\leqslant k\leqslant n$), всего $n^2$ треугольников. При $n=49$ получаем $2n+2=100$ отрезков и $n^2=2401$ треугольник.

Во втором случае (вершина треугольника обязана совпадать с концом отрезка), как я уже писал, есть неоднозначность. Если разрешить составлять сторону треугольника из нескольких отрезков, то число треугольников будет таким же, как в первом случае, то есть, $n^2$, но отрезков будет $3n$. При $n=33$ получим $3n=99$ отрезков и $n^2=1089$ треугольников. Если, что более естественно, требовать, чтобы сторона треугольника совпадала с одним из отрезков, то будет $3n-2=97$ треугольников. Пристроить сотый отрезок так, чтобы образовался ещё хотя бы один треугольник, не удаётся.