Извините,
Sasha2, я контрпример строил к утверждению, что при проведении нового отрезка может получиться не более двух новых треугольников. Если последним проводить отрезок

, то у меня получается

новых треугольников.
Но я не утверждал, что эта конструкция даёт максимальное число треугольников (кстати, у меня их там всё-таки не

отрезков, а

или даже

, а число треугольников - не

, а

, что, конечно, далеко от максимального, по крайней мере, в первом случае).
Но Ваш результат для первого случая (когда вершинами треугольников могут быть любые точки отрезков) тоже далёк от максимального. Рассмотрим на прямой

точек

и ещё одну точку

, расположенную вне этой прямой. Проведём все отрезки

(

) и отрезок, содержащий все точки

, всего, таким образом,

отрезок. Эти отрезки образуют

треугольников

(

). При

получим как раз

отрезков и

треугольник. Не знаю уж, максимальное это число или нет.