Есть ли синтаксис в математике?

[Maslov]

errnough в сообщении #308039 писал(а):

как только для $B$ построено отрицание, а $(\neg B)$ получает значение "ложь", и учитывая, что в Вашей системе разрешено без ограничений записать $(\neg B \to ...)$, то это равносильно, что из ложной посылки в Вашей системе допустимо выводить заключение (теорему). Мне кажется очевидным, что последнее противоречит логической структуре дедуктивных наук, где все умозаключения (теоремы) выводятся из предположительно истинных высказываний.

Не совсем так. Скорее, совсем наоборот. Это свойство импликации обеспечивает следующее: из ложных посылок можно вывести все, что угодно. Поэтому никакой веры тому, что выведено из ложных посылок нет: это может оказаться как истиной, так и ложью. А гарантированную истину можно вывести только из истинных посылок, и все, что выведено из истинных посылок -- истина.

И теорему из ложных посылок вывести нельзя. Теорема -- это формула, выводимая из аксиом, возможно, через несколько промежуточных шагов. А поскольку из истины следует только истина, то вывести из аксиом ложную посылку нельзя. А значит, и теорему из ложной посылки вывести нельзя. Вернее, что-то из нее конечно вывести можно, только теоремой это не будет.

И насчет дедуктивных наук Вы не совсем правы. Обратите внимание на третью аксиому, приведенную Xaositect'ом:

Xaositect в сообщении #304531 писал(а):

A3. $(\neg A\to\neg B)\to (B\to A)$

Эта аксиома может быть проинтерпретирована следующим образом: "Если из предположения о ложности А следует ложность В, а В, на самом деле, истинно, то истинно и А". Это не что иное, как широко применяющийся в дедуктивных науках метод доказательства "от противного". Мы допускаем истинность некоторого ложного высказывания с единственной целью: в результате ряда дедуктивных шагов придти к противоречию.

Более того, часто это единственный способ: принять какую-то гипотезу (допуская, при этом, что она может оказаться ложной) и посмотреть, к каким следствиям это приведет. И если в результате дедуктивного вывода мы получаем противоречие (ложное утверждение), то благодаря этому замечательному свойству импликации, мы можем быть абсолютно уверены, что наша гипотеза ложная.

Вы же предлагаете вообще запретить вывод, начинающийся словом "предположим что ...". Ибо, по-Вашему, пока мы это ... не доказали, строить на его основе какие-то выводы просто незаконно.

[errnough]

2 Maslov:
Давайте двигаться дальше в конструктиве, и зафиксируем те основания, с которыми согласились:

1. теорему из ложной посылки вывести нельзя.
2. то, что выведено из ложных посылок может оказаться как истиной, так и ложью.

Из этих посылок теперь можно приступить к умозаключениям, и обсудить, какие могут быть основания, признавая 1 и 2 истинными, отрицать введение простого правила в логику: запрет на операцию "следует" для ложной посылки.

Мои аргументы в пользу полезности этого правила:

• упрощение, сближение разных областей математики. Если операция(как функция) дает неопределенный результат при подстановке, тогда операция(функция) не задана для этой подстановки. Уже существующие правила из матанализа продолжают работать и здесь. Математика становится компактнее и универсальнее.
• Принцип экономии мышления (машинного времени).
• Четкое соответствие реальным методам алгоритмического программирования. Неопределенность (это следует из пункта 2) выясняется проверками (IF) до конца, не заходя внутрь процедур, пока не получим определенность true/false. Неопределенность, которая не может быть выяснена в алгоритме, есть простое зацикливание и неработоспособность всего алгоритма.

Еще раз о тождественной истинности.

Maslov в сообщении #307927 писал(а):

Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

Однако, в определении, И. Виноградов, Математическая энциклопедия, 1977.:

Тождественная истинность: логическая истинность, общезначимость, — свойство формул языка исчисления предикатов, означающее истинность формулы во всех ее интерпретациях и при всех допустимых значениях ее свободных переменных. [...]

То есть, всё-таки, мое понимание ближе к определению из этого источника.
Не для всех допустимых значениях свободных переменных формула $P(x)$ истинна.

Ну ладно. Есть более заковыристый вопрос, фактически, это вплотную к ошибке Рассела...
На каком основании в логике может отрицаться истина?

Пусть дано истинное высказывание: $6>3$

Нужно построить отрицание.

2 Xaositect:
обсуждение свободных векторов можно оставить в стороне, поскольку начав с утверждения: "свободный вектор суть стрелка", и попытавшись раскрутить в обратную сторону, "взад посылками", мы придем либо к противоречию, либо к тому, что термин «свободный вектор» есть всего лишь производный вид из рода «вектор».

Употребление термина "свободный вектор" влечет следующее.

1. Для того чтобы указать свойство коллинеарность, нужны два построенных объекта, сразу со всеми свойствами, в терминах предыдущих аксиом и теорем. Иначе утверждение о коллинеарности не доказуемо.

2. Либо, нужно в терминах предыдущих аксиом и теорем указать процедуру переноса(трансляция) для единственного вектора (того самого, связанного).

Оба указанных пункта требуют предсуществования: координатной системы, определения свойства "длина", определение терминов "тождественный" и "различный", определения отношения между двумя объектами "коллинеарность", определения "сонаправленный" и т.д.

[Maslov]

errnough в сообщении #308689 писал(а):

Однако, в определении, И. Виноградов, Математическая энциклопедия, 1977.:

Тождественная истинность: логическая истинность, общезначимость, — свойство формул языка исчисления предикатов, означающее истинность формулы во всех ее интерпретациях и при всех допустимых значениях ее свободных переменных. [...]

То есть, всё-таки, мое понимание ближе к определению из этого источника.

Мое понимание тождественной истинности ровно такое же. Но Вы почему-то считаете, что для того, чтобы формула была истинна, все ее подформулы тоже должны быть истинны. А это уже существеннейшим образом расходится с тем, что по поводу импликации говорится в цитируемом Вами источнике: импликация $x \to y$ истинна в случаях, когда $x$ и $y$ ложны или $x$ ложно, а $y$ истинно.

Двигаться в конструктиве дальше (как Вы предлагаете) невозможно, до тех пор, пока Вы не построите альтернативу математической логике, разрушенной Вами "до основанья". В этом посте Xaositect сформулировал основы исчисления высказываний. Вас не устраивает аксиома 3. Предложите что-нибудь взамен.

Но лучше все-таки почитайте сначала какой-нибудь учебник по мат. логике. Не хотите читать Клини или Черча -- почитайте Игошина.

[Xaositect]

errnough
Не позорьтесь с векторами. Вы показываете незнание школьной геометрии.
Каждый направленный отрезок $\vec{AB}$ задает некоторый луч $[AB)$. По одной из аксиом измерения, на луче от его вершины можно отложить ровно один отрезок, конгруэнтный заданному.
Так вот, если есть два ненулевых связанных вектора $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, то они равны тогда и только тогда, когда
а) прямые $AB$ и $CD$ параллельны
б) лучи $[AB)$ и $[CD)$ сонаправлены, т.е точки $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AC$
в) если отложить на луче $[CD)$ от его начала отрезок $CD'$, конгруэнтный отрезку $AB$, то $D'$ совпадет с $D$.

Никаких систем координат не нужно.

[errnough]

Maslov в сообщении #308711 писал(а):

Вы почему-то считаете, что для того, чтобы формула была истинна, все ее подформулы тоже должны быть истинны.

В Вашей цитате содержится основа аксиоматики и основа дедуктивных наук, ранее Вы сделали почти это же утверждение (под моим пунктом 1), и теперь сами в это не верите? У меня ощущение, что Вы боитесь идти вслед за своим разумом.

Maslov в сообщении #308711 писал(а):

вигаться в конструктиве дальше (как Вы предлагаете) невозможно, до тех пор, пока Вы не построите альтернативу математической логике, разрушенной Вами "до основанья".

Вряд ли это можно назвать разрушением. Скорее, это упрощение, и отсечение ложных оснований. Импликация, по тому же Виноградову, суть вот эта таблица:

$$\begin{matrix} & & A& |&B &|&(A\to B)\\ & & & |& &|& \\ _1|& & T& |&T &|& T \\ _2|& & T& |&F &|& F \\ _3|& & F& |&T &|& T \\ _4|& & F& |&F &|& T \\ \end{matrix}$$

Я утверждаю, что верна только первая строка. Никакой таблицы не нужно. Остальные строки суть ложные посылки. Предлагаю Вам взять свой пример, с $P(x)$, сделать подстановку, чтобы получить 2, 3, 4 строки, и показать, как Вы их выводите. Например: подставьте $x=4$ и покажите, что из $(4>5)$ следует $(4>3)$. Вот и будет конструктив...
------------

2 Xaositect:
Вы неправильно возражаете, или я не понимаю, на что Вы возражаете. Всё что я предложил, это игра, следование алгоритму. Как в шахматы. Если Вам не знаком этот гамбит, это еще не повод отказываться признавать ситуацию на доске. Либо Вы показываете, что я спрятал ладью, или ходил не по правилам, либо признаете, что Ваша ситуация проигрышная.

Мной приведены 9 пунктов, взятых за истинные. Рассуждения велись в защиту тезиса: вычитание связанных векторов противоречиво. Из данных посылок выведено противоречие. Напомню, что из других посылок выведенные умозаключения ничего не доказывают и не опровергают. Необходимо показать либо ложность какой-л. из этих 9 посылок, либо нелогичность заключения из них. Вы можете утверждать, например, что имеется довод или аргумент, совместимый с этими посылками, но в корне меняющий дело.

Просто отвергнуть показанное противоречие это голословный довод. Привести из других посылок иное заключение это произвольный довод. Сформулируйте, пожалуйста, на что Вы возражаете.

[Maslov]

errnough в сообщении #308793 писал(а):

В Вашей цитате содержится основа аксиоматики и основа дедуктивных наук, ранее Вы сделали почти это же утверждение

Я нигде не утверждал, что любая формула является теоремой. Выводимая (из аксиом) формула теоремой является, а невыводимая -- нет. И про дедуктивный вывод через доказательство от противного я тоже писал.

Попробуйте с помощью Вашей "усовершенствованной" логики построить какой-нибудь простенький вывод.
Ну докажите, например, что из утверждений
1. Звезды горячие
2. Луна не горячая
следует, что Луна -- не звезда.

[Xaositect]

errnough в сообщении #308793 писал(а):

Вы неправильно возражаете, или я не понимаю, на что Вы возражаете. Всё что я предложил, это игра, следование алгоритму. Как в шахматы. Если Вам не знаком этот гамбит, это еще не повод отказываться признавать ситуацию на доске. Либо Вы показываете, что я спрятал ладью, или ходил не по правилам, либо признаете, что Ваша ситуация проигрышная.

У Вас там приведено неверное определение сложения.

[infoliokrat]

Возможно и в математике дилетантам иногда проще (со стороны виднее). Побанившись с января сразу застрял на первой теме (этой) и вот почему (как обычно, не менее трех пунктов):
1. Синтаксис есть в любом языке, но в каждом свой.
2. Каждый раздел математики обязан иметь свой язык.
3. У разных людей (а математики, даже профессионалы, тоже люди, хотя и не такие как все) свои пути достижения цели.

Насколько эти пункты существенны каждому из оппонентов им и судить. 1. Прошу учесть что в двоичной логике, в троичной логике или в любой нечеткой логике должны быть свои нюансы. Синтаксис немецкого языка не должен быть русским. 2. Например, не только сложение, а и лругие действия с векторами свободными должны (на мой взгляд) отличаться от действий с векторами скользящими или связанными. 3. Упоминание о шахматах (гамбите, = как автора "деревенского гамбита" и "свежего" пенсионера) особенно заинтересовало. Шахмат тоже есть много, кроме обычных или Фишера. Так что наличие синтаксиса вообще вне сомнения.

Может быть обратная польская запись для этого не худший пример.

[errnough]

Maslov в сообщении #308826 писал(а):

Попробуйте с помощью Вашей "усовершенствованной" логики построить какой-нибудь простенький вывод.
Ну докажите, например, что из утверждений
1. Звезды горячие
2. Луна не горячая
следует, что Луна -- не звезда.

Например, вся цифровая логика работает так, как написано у меня. Там нет ложных сигналов. Все сигналы либо "да, есть"; либо "нет, отсутствие". Из отсутствия сигналов ничего не следует.

Вы почему-то никак не хотите свой математический пример с $P(x)$ дальше использовать :) Строго говоря, из 1 не следует 2. Причина: на разных посылках не строятся сравнимые заключения. Поэтому, чтобы хоть как-то рассуждать, сначала нужно задать общие посылки, например,

1а. звезды и луны суть небесные тела.

Затем на общих посылках строятся рассуждения. Например, небесные тела делятся на два класса по признаку: горячие/не горячие. Звезды попадают в класс "горячие", а луны в класс "не горячие". Затем используется Аристотелевский "запрет противоречий" и утверждается, что одно и то же небесное тело не может быть одновременно горячим и не горячим. Отсюда следует, что небесное тело не может быть одновременно в двух этих классах. Из 1а, 1, 2 следует только то, что Луна не горячее небесное тело. И ничего больше.

Xaositect в сообщении #308830 писал(а):

приведено неверное определение сложения.

Я думал, что нет ничего сложного найти определение суммы векторов самим, рассуждая логически... Вы наверняка отрицаете возможность определения суммы двух векторов с началами в общей точке. Если нужен авторитетный источник, то пожалуйста, лекции в МГУ:

[Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.— 5-е изд., исправленное.— М.: Добросвет, Московский центр непрерывного математического образования, 1998.—320 с.]

Если бы это определение соответствовало только Вашему определению суммы, то говорилось бы о треугольнике. Однако здесь — параллелограмм. А если бы я сидел в аудитории на этой лекции, то непременно спросил лектора, каким образом про два различных отрезка, которые можно совместить лишь параллельным переносом (то есть они разнесены в трехмерном пространстве) можно утверждать, что это один и тот же отрезок?

Кстати, сумма векторов у Виноградова, тоже как и у Вас, по треугольнику:
И. Виноградов, Математическая энциклопедия, 1977. т.1 стр.621:


У Виноградова мне не спросить, но я могу спросить у Вас: почему ассоциативность сложения проверена на трех объектах, а коммутативность только на двух? Наверное, потому, что в таком определении свойство коммутативности для трех элементов (векторов) уже не соблюдается... и это в основании векторной алгебры?

[Xaositect]

errnough в сообщении #308989 писал(а):

Если бы это определение соответствовало только Вашему определению суммы, то говорилось бы о треугольнике. Однако здесь — параллелограм. А если бы я сидел в аудитории на этой лекции, то непременно спросил лектора, каким образом про два различных отрезка, которые можно совместить лишь параллельным переносом (то есть они разнесены в трехмерном пространстве) можно утверждать, что это один и тот же отрезок?

А там свободные векторы, там это эквивалентно.
Если векторы связаны, то либо параллелограмм, либо треугольник, если использовать вместе, то ассоциативность теряется, а это плохо.

errnough в сообщении #308989 писал(а):

У Виноградова мне не спросить, но я могу спросить у Вас: почему ассоциативность сложения проверена на трех объектах, а коммутативность только на двух? Наверное, потому, что в таком определении свойство коммутативности для трех элементов (векторов) уже не соблюдается... и это в основании векторной алгебры?

Теорема. Если операция +, заданная на множестве M коммутативна и ассоциативна, т.е. для любых $a,b,c\in M$ $a+b = b+a$ и $(a+b)+c = a+(b+c)$, то сумма любого числа слагаемых не зависит от расстановки скобок и порядка слагаемых.

[errnough]

Xaositect в сообщении #308993 писал(а):

Теорема. Если [...], то сумма любого числа слагаемых не зависит от расстановки скобок и порядка слагаемых.

Либо теорема ложная, либо сумма определена неверно. Ваша теорема не работает при трех векторах.
$\xymatrix@=10pt{& & B\ar[drrr]^2 & & & &\\& & & & & C\ar[dddd]^3 &\\& & & & & & &\\A\ar[uuurr]^1\ar@{-->}[uurrrrr]_{1+2}\ar@{-->}[ddrrrrr]_{1+2+3} & & & & & &\\& & & & & & &\\& & & & & D &\\& & & & & & &\\}$
Нельзя сложить (1+3)+2.

По моему скромному мнению, ложно и то, и другое. По моей логике, не существует загадки "куча/не куча". Два не куча, а три — куча. На языке математики, свойства и отношения рассматриваются не менее чем на трех элементах.

[Xaositect]

А тут нет коммутативности, только ассоциативность.
Поэтому менять местами нельзя, только скобки расставлять.

[Maslov]

errnough в сообщении #308989 писал(а):

Вы почему-то никак не хотите свой математический пример с $P(x)$ дальше использовать :)

А зачем его дальше использовать? Пример, он и есть пример. Если Вы отрицаете возможность вывода следствия (не теоремы, а именно следствия) из невыводимых посылок, то обсуждать его дальше смысла не имеет.

Теперь о логическом выводе:

Maslov в сообщении #308826 писал(а):

Ну докажите, например, что из утверждений
1. Звезды горячие
2. Луна не горячая
следует, что Луна -- не звезда.

errnough в сообщении #308989 писал(а):

Строго говоря, из 1 не следует 2.

Конечно, не следует. А я где-то говорил, что следует?

errnough в сообщении #308989 писал(а):

чтобы хоть как-то рассуждать, сначала нужно задать общие посылки, например,

1а. звезды и луны суть небесные тела.

При чем здесь небесные тела? Если Вам так удобнее, можно добавить посылку "Луна и звезды суть объекты". А небесные тела тут абсолютно не при чем.

errnough в сообщении #308989 писал(а):

Затем на общих посылках строятся рассуждения. Например, небесные тела делятся на два класса по признаку: горячие/не горячие. Звезды попадают в класс "горячие", а луны в класс "не горячие". Затем используется Аристотелевский "запрет противоречий" и утверждается, что одно и то же небесное тело не может быть одновременно горячим и не горячим. Отсюда следует, что небесное тело не может быть одновременно в двух этих классах. Из 1а, 1, 2 следует только то, что Луна не горячее небесное тело. И ничего больше.

Интересная у Вас логика. Первая-то посылка для этого вывода зачем? По сути дела, единственное правило, которое есть в Вашей "логике", это $A \to A$. Бедновато как-то.

Другими словами, вывод
$(\forall x) (S(x) \to H(x)), \neg H(a) \vdash \neg S(a)$
построить не можете?


А такой вывод тоже неверен?

Все звезды горячие
Ни одна луна не горячая
----------------------------
Ни одна луна не является звездой

Это, кстати, Camestres Аристотеля в чистом виде.

[man]

Извините, что встрял под чужой вопрос

Maslov в сообщении #309009 писал(а):

А такой вывод тоже неверен?

Все звезды горячие
Ни одна луна не горячая
----------------------------
Ни одна луна не является звездой

Это, кстати, Camestres Аристотеля в чистом виде.

Подразумевается, что объекты (звезда, луна) непротиворечивы и сравнимы.

звезда - это высказывание вида $a \land \neg a$, луна - это высказывание вида $a \subseteq a$, "горячая" - означает противоречие

Все звезды горячие (все высказывания вида $a \land \neg a$ - это противоречия)
Ни одна луна не горячая (ни одно высказывание вида $a \subseteq a$ не является противоречием)
----------------------------
Ни одна луна не является звездой ?

[errnough]

Xaositect в сообщении #309006 писал(а):

нет коммутативности, только ассоциативность.
Поэтому менять местами нельзя, только скобки расставлять.

немного подумаю, попозже отвечу поосновательнее. Пока можно сказать только одно. Мое определение суммы векторов есть следствие из двух определений, из Виноградова и из Гельфанда. Вы пока не привели оснований для того, чтобы считать определение Гельфанда (сумма как диагональ параллелограмма) ложным. Поэтому и оснований для Вашего утверждения о якобы неверном моем определении, не видно.

Кроме того, очень странно выглядит определение суммы элементов, у которых для двух слагаемых коммутативность есть, а уже для трех — нет.

Maslov в сообщении #309009 писал(а):

Первая-то посылка для этого вывода зачем?

Для чего посылка 1а? Для аргументированного объяснения, на примере, почему "не следует". Перед рассуждением выясняют и формулируют посылки. Назовем их множеством А. Если попробовать выводить заключения, беря разные подмножества из А, то сводя эти заключения в одно предложение, можно получить "в огороде бузина, а в Киеве дядька". И это не противоречие, противоречие суть два заключения из одних и тех же посылок, дающие [...]. Заключения (из скрытых посылок) про свойство "горячесть" у звезд и лун относятся к разным подмножествам посылок изначально, иначе их (звезды и луны) обозначили бы одним словом (по признаку), или одним термином. Для хоть какого-то осмысленного рассуждения мной и введена посылка 1а. В ней сформулировано обобщающее высказывание для звезд и лун, и о нем же и было сделано заключение. Наконец, можно ввести еще одну истинную посылку, [1б ...], и тогда из 1 будет следовать 2.

Maslov в сообщении #309009 писал(а):

Все звезды горячие
Ни одна луна не горячая
----------------------------
Ни одна луна не является звездой

Заключение неверное, по тем же причинам.

Мне интересно, есть ли у Вас свое объяснение, почему в исходном примере из 1 не следует 2?

Maslov в сообщении #309009 писал(а):

По сути дела, единственное правило, которое есть в Вашей "логике", это $A \to A$. Бедновато как-то.

Это не так. Вместо многих «утверждений» мной предполагается возможность использования одной обобщенной «процедуры». Иными словами, там где в обычном смысле, под правилами или аксиомами даются многие законченные утверждения, возможно дать одну четко описанную процедуру(функцию) вывода определений. Бедность утверждениями не порок для системы. Процессор внутри не умеет ничего, кроме как в двоичной системе сложить единицы и сдвинуть поразрядно, а компьютер человеку симулирует и отрицательные числа, и комплексные числа, и кватернионы.

Например, в такой процедуре допустимо за первоначальное утверждение взять даже детское: "вектор суть стрелка". Остальное процедура отработает над математическими текстами.

Цитата:

Другими словами, вывод
$(\forall x) (S(x) \to H(x)), \neg H(a) \vdash \neg S(a)$
построить не можете?

Что оно означает словами, и что над конкретными данными?