Интегралы по кривым.

[Kafari]

Снова здравствуйте!
Вот у меня тут возникла такая проблема с криволинейными интегралами. Просто чтобы их считать, вроде параметр вводить нужно, и у меня не получается.
Первая задача:
$\int\limits_Lx^2dl$, где $L$ окружность
$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + z^2 = a^2,\\ x + y + z = 0, \end{array} \right$
Я вот делаю так:
выражаю из второго уравнения $z = - x - y$, подставляю в первое:
$2x^2 +2y^2 + 2xy = a^2$.
Потом пишу:
$x = \frac a {\sqrt 2} \cos t$
$y = \frac a {\sqrt 2} \sin t$
Но это скорее всего неправильно, так что не имеет смысла писать дальше. Пожалуйста, подскажите!

[ewert]

Kafari в сообщении #308570 писал(а):

Потом пишу:
$x = \frac a {\sqrt 2} \cos t$
$y = \frac a {\sqrt 2} \sin t$
Но это скорее всего неправильно,

Конечно, неправильно. Вы выписываете уравнение окружности, в то время как это -- эллипс (полученный проецированием той окружности на горизонтальную плоскость).

[Kafari]

А какой тогда делать параметр для окружности? Я что-то вообще теряюсь. Понимаю, что плоскость вроде под углом 45 градусов, может, это как-нибудь завязать?

[ewert]

Нет, не 45 градусов.

Мне так с ходу ничего очень уж простого в голову ни в каком варианте не приходит. Наиболее разумный (навскидку) вариант таков. Сделать ортогональное преобразование, при котором одна из осей перпендикулярна плоскости $x+y+z=0$, а две другие -- не важно, пусть какие-нибудь. Тогда интеграл приобретёт вид $\int F(\widetilde x,\widetilde y)\,dl$, где интегрирование ведётся по окружности, расположенной в новой горизонтальной плоскости и $F$ -- некоторая явно выписываемая (если явно выписана матрица преобразования) квадратичная функция от новых переменных. Дальше просто -- всего лишь интеграл от квадратичной комбинации синуса и косинуса.

(Возможно, я чего-то и туплю, тогда пардон.)

[Padawan]

Надо в плоскости окружности найти два вектора, их ортонормировать и записать параметризацию $\vec r(t)=a(\vec e_1\cos t+\vec e_2\sin t)$

[Kafari]

О, как все сложно... Это мне не решить...
Два вектора, допустим, я найду: (0; -1; 1) и (-1; 0; 1). Насколько я понимаю, они ортогональны. Если нормировать, то как-то так:
$(0; -\frac 1 {\sqrt 2}; \frac 1 {\sqrt 2})$ и $(-\frac 1 {\sqrt 2}; 0; \frac 1 {\sqrt 2})$, вроде...

А что с ними дальше делать, не понимаю... Ведь параметризация должна быть в плоскости, а не в пространстве. Значит, векторы должны быть $(0; -\frac 1 {\sqrt 2})$ и $(-\frac 1 {\sqrt 2}; 0)$ ? Нет?

И вот еще одна задача, похожая, и не знаю, как ее решить:
Вычислить работу силы ${x+y; y-x}$ вдоль эллипса $5x^2 - 6xy + 5y^2 = 8$. Вообще не могу понять, что это за эллипс, и как его параметризовать. Как с него достать a и b ?

[ИСН]

Kafari в сообщении #308671 писал(а):

Насколько я понимаю, они ортогональны

Как Вы это понимаете?

[Kafari]

ИСН в сообщении #308674 писал(а):

Как Вы это понимаете?

Как ось х перпендикулярна оси у. Разве нет?

[Полосин]

В первой задаче можно воспользоваться симметрией: $\int\limits_Lx^2dl=1/3\int\limits_L(x^2+y^2+z^2)dl=...$.

[ИСН]

О, Полосин, кстати да, так проще, и брать не надо вообще. Но в учебных целях надо всё-таки взять в лоб.
Kafari: и что?

[ewert]

Kafari в сообщении #308671 писал(а):

Вычислить работу силы ${x+y; y-x}$ вдоль эллипса $5x^2 - 6xy + 5y^2 = 8$. Вообще не могу понять, что это за эллипс, и как его параметризовать. Как с него достать a и b ?

Достать -- просто. Поскольку коэффициенты при квадратах одинаковы -- осями эллипса будут биссектрисы $x=y$ и $x=-y$. Просто найдите точки их пересечения с эллипсом.

А потом примените формулу Грина. Всё сведётся просто к площади эллипса.

[neo66]

Kafari в сообщении #308675 писал(а):

ИСН в сообщении #308674 писал(а):

Как Вы это понимаете?

Как ось х перпендикулярна оси у. Разве нет?

ИСН Вам намекал, что они не ортогональны.

[Kafari]

neo66 в сообщении #308695 писал(а):

ИСН Вам намекал, что они не ортогональны.

Да я уже поняла... Проклятая женская логика, втопку ее))
А что-нибудь вроде пары $(0;-1;1)$ и $(-1;1/2;1/2)$ подойдет? Хотя, наверное, нет, второй вектор в плоскости не лежит... Или лежит?

ewert в сообщении #308683 писал(а):

Достать -- просто. Поскольку коэффициенты при квадратах одинаковы -- осями эллипса будут биссектрисы и . Просто найдите точки их пересечения с эллипсом.

Спасибо за подсказку! Сделала так, вроде все получилось, правда там в конце со знаком что-то не то, но это уже мелочи... Не знаю, верный ли это был шаг, но при введении параметра я повернула оси на $\pi/4$, и там a и b получились 2 и 1..