2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегралы по кривым.
Сообщение11.04.2010, 20:00 


26/12/09
104
Москва
Снова здравствуйте!
Вот у меня тут возникла такая проблема с криволинейными интегралами. Просто чтобы их считать, вроде параметр вводить нужно, и у меня не получается.
Первая задача:
$\int\limits_Lx^2dl$, где $L$ окружность
$\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + z^2 = a^2,\\
x + y + z = 0,
\end{array} \right$
Я вот делаю так:
выражаю из второго уравнения $z = - x - y$, подставляю в первое:
$2x^2 +2y^2 + 2xy = a^2$.
Потом пишу:
$x = \frac a {\sqrt 2} \cos t$
$y = \frac a {\sqrt 2} \sin t$
Но это скорее всего неправильно, так что не имеет смысла писать дальше. Пожалуйста, подскажите!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение11.04.2010, 20:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kafari в сообщении #308570 писал(а):
Потом пишу:
$x = \frac a {\sqrt 2} \cos t$
$y = \frac a {\sqrt 2} \sin t$
Но это скорее всего неправильно,

Конечно, неправильно. Вы выписываете уравнение окружности, в то время как это -- эллипс (полученный проецированием той окружности на горизонтальную плоскость).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение11.04.2010, 20:22 


26/12/09
104
Москва
А какой тогда делать параметр для окружности? Я что-то вообще теряюсь. Понимаю, что плоскость вроде под углом 45 градусов, может, это как-нибудь завязать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение11.04.2010, 21:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Нет, не 45 градусов.

Мне так с ходу ничего очень уж простого в голову ни в каком варианте не приходит. Наиболее разумный (навскидку) вариант таков. Сделать ортогональное преобразование, при котором одна из осей перпендикулярна плоскости $x+y+z=0$, а две другие -- не важно, пусть какие-нибудь. Тогда интеграл приобретёт вид $\int F(\widetilde x,\widetilde y)\,dl$, где интегрирование ведётся по окружности, расположенной в новой горизонтальной плоскости и $F$ -- некоторая явно выписываемая (если явно выписана матрица преобразования) квадратичная функция от новых переменных. Дальше просто -- всего лишь интеграл от квадратичной комбинации синуса и косинуса.

(Возможно, я чего-то и туплю, тогда пардон.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение11.04.2010, 21:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Надо в плоскости окружности найти два вектора, их ортонормировать и записать параметризацию $\vec r(t)=a(\vec e_1\cos t+\vec e_2\sin t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение12.04.2010, 08:22 


26/12/09
104
Москва
О, как все сложно... Это мне не решить...
Два вектора, допустим, я найду: (0; -1; 1) и (-1; 0; 1). Насколько я понимаю, они ортогональны. Если нормировать, то как-то так:
$(0; -\frac 1 {\sqrt 2}; \frac 1 {\sqrt 2})$ и $(-\frac 1 {\sqrt 2}; 0; \frac 1 {\sqrt 2})$, вроде...

А что с ними дальше делать, не понимаю... Ведь параметризация должна быть в плоскости, а не в пространстве. Значит, векторы должны быть $(0; -\frac 1 {\sqrt 2})$ и $(-\frac 1 {\sqrt 2}; 0)$ ? Нет?

И вот еще одна задача, похожая, и не знаю, как ее решить:
Вычислить работу силы ${x+y; y-x}$ вдоль эллипса $5x^2 - 6xy + 5y^2 = 8$. Вообще не могу понять, что это за эллипс, и как его параметризовать. Как с него достать a и b ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение12.04.2010, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Kafari в сообщении #308671 писал(а):
Насколько я понимаю, они ортогональны

Как Вы это понимаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение12.04.2010, 09:06 


26/12/09
104
Москва
ИСН в сообщении #308674 писал(а):
Как Вы это понимаете?

Как ось х перпендикулярна оси у. Разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение12.04.2010, 09:19 
Заслуженный участник


26/12/08
678
В первой задаче можно воспользоваться симметрией: $\int\limits_Lx^2dl=1/3\int\limits_L(x^2+y^2+z^2)dl=...$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение12.04.2010, 09:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
О, Полосин, кстати да, так проще, и брать не надо вообще. Но в учебных целях надо всё-таки взять в лоб.
Kafari: и что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение12.04.2010, 09:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kafari в сообщении #308671 писал(а):
Вычислить работу силы ${x+y; y-x}$ вдоль эллипса $5x^2 - 6xy + 5y^2 = 8$. Вообще не могу понять, что это за эллипс, и как его параметризовать. Как с него достать a и b ?

Достать -- просто. Поскольку коэффициенты при квадратах одинаковы -- осями эллипса будут биссектрисы $x=y$ и $x=-y$. Просто найдите точки их пересечения с эллипсом.

А потом примените формулу Грина. Всё сведётся просто к площади эллипса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение12.04.2010, 10:54 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Kafari в сообщении #308675 писал(а):
ИСН в сообщении #308674 писал(а):
Как Вы это понимаете?
Как ось х перпендикулярна оси у. Разве нет?
ИСН Вам намекал, что они не ортогональны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по кривым.
Сообщение12.04.2010, 21:21 


26/12/09
104
Москва
neo66 в сообщении #308695 писал(а):
ИСН Вам намекал, что они не ортогональны.

Да я уже поняла... Проклятая женская логика, втопку ее))
А что-нибудь вроде пары $(0;-1;1)$ и $(-1;1/2;1/2)$ подойдет? Хотя, наверное, нет, второй вектор в плоскости не лежит... Или лежит?

ewert в сообщении #308683 писал(а):
Достать -- просто. Поскольку коэффициенты при квадратах одинаковы -- осями эллипса будут биссектрисы и . Просто найдите точки их пересечения с эллипсом.

Спасибо за подсказку! Сделала так, вроде все получилось, правда там в конце со знаком что-то не то, но это уже мелочи... Не знаю, верный ли это был шаг, но при введении параметра я повернула оси на $\pi/4$, и там a и b получились 2 и 1..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group