функционал из $H_0^1(\Omega)^\perp$

[nckg]

Пусть $\Omega\subset \mathbb R^3$ --- ограниченная область (с кусочно-гладкой границей, если что).
Пусть $f\in (H^1(\Omega))^*$ --- линейный непрерывный функционал, равный нулю на всём $H_0^1(\Omega)$. Представим ли он в виде $f(v)=\int_{\partial\Omega} g v \, dS$, где $g\in L_2(\partial\Omega)$, а $v$ под интегралом понимается как след $v$ на $\partial\Omega$?

[nckg]

Можно сформулировать вспомогательную задачу: существует ли (определённый хотя бы на всюду плотном множестве) линейный непрерывный оператор $C\colon L_2(\partial\Omega)\to H^1(\Omega)$?
(оператор $C$ будет правым обратным к оператору взятия следа $\cdot|_{\partial\Omega}$)

Если существует, то $f(C\, \cdot)\in (L_2(\partial\Omega))^*$, по лемме Рисса существует $\phi\in L_2(\partial\Omega)$, что $\forall s\in L_2(\partial\Omega)$ $f(Cs)=\int_{\partial\Omega}\phi s \, dS$, и остаётся заметить, что $f(v)=f(C (v|_{\partial\Omega}))$.

[Prokop]

Думаю, что представим. Это следует из того, что в $H^1\left(\Omega\right)$ можно, в силу теоремы вложения, ввести эквивалентную норму
\left|u\right|_1=\left({\int\limits_\Omega{\left|{\nabla{u}}\right|^2dx}+\int\limits_{\partial\Omega }{\left|u\right|^2dS}}\right)^{1/2}.

[nckg]

Prokop, если я правильно понимаю Вашу идею, то нужно показать, что норма $|\cdot|_1$ любого элемента $w\in (H_0^1(\Omega))^\perp$ равна (или оценивается сверху) нормой следа $w$ на $\partial\Omega$.
Это было бы так, если бы $\int_\Omega |\nabla w|^2 \, dx$ равнялся нулю. Но ведь это ниоткуда не следует...

(Мы можем лишь записать $\int_\Omega \nabla w \nabla v \, dx=0$ для $\forall v\in H_0^1(\Omega)$)

P.S. Скалярное произведение (которое нужно для определения ортогонального дополнения $(H_0^1(\Omega))^\perp$ ) я понимаю в следующем смысле: $[u,v]=\int_\Omega \nabla u \nabla v \, dx + \int_{\partial \Omega} uv \, dS$. При этом $|u|_1=\sqrt{[u,u]}$.

[Prokop]

Да Вы правы. Возможно, это и есть ответ на Ваш вопрос.
Линейный непрерывный функционал наH^1\left(\Omega\right), равный нулю на всём
H_0^1\left(\Omega \right), представим в виде
\int\limits_\Omega {\left( {\nabla w,\nabla u}\right)dx}+\int\limits_{\partial \Omega }{wudS},
где w - гармоническая функция.

[nckg]

nckg в сообщении #308509 писал(а):

Prokop, если я правильно понимаю Вашу идею, то нужно показать, что норма $|\cdot|_1$ любого элемента $w\in (H_0^1(\Omega))^\perp$ равна (или оценивается сверху) нормой следа $w$ на $\partial\Omega$.

Есть нестрогая идея как это доказать: Пусть $w\in (H_0^1(\Omega))^\perp$, а $\varphi_h$ --- функция, равная 1 на $\partial\Omega$, $0$ вне слоя толщиной $h$ вокруг $\partial\Omega$, и линейная внутри этого слоя. Тогда, т.к. $(1-\varphi_h)w\in H_0^1(\Omega)$, $|w|_1^2=|\varphi_h w|_1^2=\int_\Omega |\nabla(\varphi_h w)|^2 \, dx + \int_{\partal\Omega} w^2 \, dS$. И первый интеграл должен стремиться к \mathrm{const} $\int_{\partal\Omega} w^2$ \, dS при $h\to 0$...

Prokop в сообщении #308531 писал(а):

Да Вы правы.
Линейный непрерывный функционал на $H^1\left(\Omega\right)$, равный нулю на всём
$H_0^1\left(\Omega \right)$, представим в виде
$\int\limits_\Omega {\left( {\nabla w,\nabla u}\right)dx}+\int\limits_{\partial \Omega }{wudS}$,
где $w$ - гармоническая функция.

То, что он представим в таком виде - это следует из леммы Рисса. Но почему $w$ -- гармоническая?

[Prokop]

Из равенства
\int\limits_\Omega {\left( {\nabla w,\nabla u} \right)dx} = 0
для всех функций u \in H_0^1 \left( \Omega \right).

[nckg]

Да, согласен! Любая обобщённо-гармоническая функция - гармоническая.
Большое спасибо, Prokop!

-- Вс апр 11, 2010 19:29:32 --

хотя я немного поторопился, как всегда . Имеем:
$f(v)=\int\limits_\Omega {\left( {\nabla w,\nabla u}\right)dx}+\int\limits_{\partial \Omega }{wudS}$,
где $w$ - гармоническая функция. Но ведь отсюда ещё не следует, что первый интеграл равен нулю.

[Prokop]

Да, не следует. Но ответ на Ваш вопрос получен. Надо к этому интегралу применить формулу интегрирования по частям.

[nckg]

интегрируя по частям, получим $\int_{\partial\Omega} \frac{\partial w}{\partial n} u dS$, но для этого нужно, чтобы существовало $\frac{\partial w}{\partial n}|_{\partial\Omega}$.

[Prokop]

Надо обратится к задаче Дирихле
\Delta w = 0 в области \Omega
w = w_0 на \partial \Omega
Оказывается, что оператор, сопоставляющий w_0 нормальную производную решения этой задачи ограничен в L_2 на границе (кажется, это верно даже для липшицевых границ).

-- Вс апр 11, 2010 22:57:57 --

[nckg]

А где можно об этом прочитать?

[Prokop]

Это началось с метода потенциалов решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона (в учебниках по мат. физике есть выражения для потенциалов простого и двойного слоя и можно попытаться самому получить нужные оценки). Конечно, это есть в книге Л. Хёрмандера, Анализ дифференциальных операторов с частными производными, т 3, гл. 17.3 и 20 (там же есть и исторические ссылки).