Задачи на сходимость рядов

[ewert]

Geremy в сообщении #293366 писал(а):

Исследовать сходимость ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{{ln^{100}n} sin \frac{n\pi }{4}}{n}}$$

Выделил по признаку Абеля $a_{n}=\frac{sin \frac{n\pi}{4}}{n}$ и $b_{n}=ln^{100}n$ .

И совершенно напрасно. Если уж по Абелю, то совершенно очевидно, что выделять надо было $a_{n}=sin \frac{n\pi}{4}$ и $b_{n}=\dfrac{ln^{100}n}{n}$ . Монотонность последнего (начиная с некоторого номера) достаточно тривиальна.

(Впрочем, это не Абель, а Дирихле; я их вечно путаю.)

[Geremy]

Извините за еще один глупый вопрос , но как можно исследовать на сходимость $a_n=sin \frac{n\pi}{4}$ ?

[mitia87]

Вам не нужна его сходимость, нужна ограниченность частных сумм. Покажите, что они ограничены числом $\dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}.$

[bot]

Неравенство $1+\sqrt 2 < \frac{1}{\sin \frac{\pi}{8}}$ верное, но проще показывать, что частичные суммы ряда $\sum \sin \frac{\pi n}{4}$ ограничены первым числом.

[VoloCh]

meduza в сообщении #220563 писал(а):

rar в сообщении #220557 писал(а):

Получается, что любой не знакочередующийся сходящийся ряд сходится абсолютно.

да

Нет. Разве "не знакочередующийся" это синоним знакопостоянного? Если верить [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Знакочередующийся_ряд]определению[/url], то это не так!

[paha]

rar в сообщении #220555 писал(а):

А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?

Тут нужна для "закрепления определений":)
А в принципе - затем, что в абсолютно сходящемся ряде можно менять порядок суммирования и сумма ряда от этого не изменится

[Geremy]

Исследовать на сходимость ряд :

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2n^{2}}}-\cos\frac{1}{n}}$$

Необходимый признак сходимости выполняется, т.е предел равен нулю.
Но вот с достаточным возникли проблемы : то ли эквивалентный ряд нужно найти , то ли еще что-то. Подскажите пожалуйста .

[paha]

Geremy в сообщении #305623 писал(а):

Но вот с достаточным возникли проблемы : то ли эквивалентный ряд нужно найти

найти очень просто... посмотрите что происходит при о-о-о-чень больших $n$

[ewert]

Вычтите по единичке из каждого слагаемого и перейдите в получившихся разностях к эквивалентным -- немедленно просветление наступит.

[Geremy]

Вычел , но никаких просветлений не появилось

[ИСН]

Перейдите к эквивалентным, кагбе намекает капитан Очевидность.

[Geremy]

У меня только одно приходит - это формула тейлора

[ИСН]

Ну.

[ewert]

Geremy в сообщении #307982 писал(а):

У меня только одно приходит - это формула тейлора

"Эквивалентность" (в стандартном понимании) -- это просто первый член (ну или два члена, если нулевой не ноль) формулы Тейлора. Т.е. просто простейший её частный случай.

Ладно, если попытаться минимизировать пижонство. Рассмотрите два первых члена стандартной формулы Тейлора для экспоненты, принимая за бесконечно малую $\varepsilon=-{1\over n^2}$. И аналогично для косинуса, полагая для него $\varepsilon={1\over n}$ (только тут, конечно, под двумя первыми имеются в виду два первых ненулевых).

Ну и, конечно, для корректности рассуждений надо хоть как-то оформить остаточные члены тех формул. Результат придёт автоматически.