2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задачи на сходимость рядов
Сообщение08.06.2009, 06:15 


04/04/08
481
Москва
Установить сходимость/расходимость ряда: $$1+\frac{2!}{2^2}+\frac{3!}{3^3}+...+\frac{n!}{n^n}+...$$

Воспользуемся признаком Даламбера. $$D=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}:\frac{n!}{n^n}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{n!(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=$$$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}=\frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}$$$$D=\frac{1}{e}<1$$
Отсюда следует, что ряд сходится.

Правильно?
И скажите, вычисленный D в этом примере это что - сумма ряда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте задание по рядам
Сообщение08.06.2009, 06:26 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
1) Правильно.
2) $D$ - не сумма ряда. Это просто число, по которому можно определить, будет ли ряд сходиться или нет (если оно отлично от 1). В сущности, это число (обзовём его $q$) показывает, грубо говоря, что общий член ряда ведет себя на бесконечности примерно как геометрическая прогрессия $q^n$. Я не уточняю, что именно это означает, см. доказательство признака Даламбера.

P.S. Зачем Вы создаете отдельные темы, если они в принципе об одном и том же?

Темы объединены. /AKM

 Профиль  
                  
 
 Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 06:51 


04/04/08
481
Москва
Исследовать сходимость ряда: $$1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{n^4}+...$$
Так как функция от n - непрерывная, положительная и монотонно убывающая, то можно воспользоваться интегральным признаком Коши. $$I=\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^4}=\lim_{N\to +\infty}\left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{N}=-\frac{1}{3}\lim_{N\to +\infty}\left(\frac{1}{N^3}-1\right)=-\frac{1}{3}(0-1)=\frac{1}{3}$$
Несобственный интеграл I сходится, отсюда следует сходимость данного ряда.

Но, в ответе написано, что ряда сходится абсолютно. Откуда эта абсолютность берется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 07:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
rar в сообщении #220553 писал(а):
Откуда эта абсолютность берется?

Оттуда, что ряд из модулей тоже сходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 07:09 


04/04/08
481
Москва
Хм. Это же не знакочередующийся ряд.
Если бы не было бы ответа, то я бы написал, что ряд сходится. А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?
И чем отличается просто сходимость от абсолютной сходимости и условной. И чем отличаются абсолютная сходимость от условной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 07:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
rar в сообщении #220555 писал(а):
Это же не знакочередующийся ряд.

Понятие абсолюной сходимости распространяется на все числовые ряды, а не только на знакочередующиеся.

rar в сообщении #220555 писал(а):
А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?И чем отличается просто сходимость от абсолютной сходимости и условной. И чем отличаются абсолютная сходимость от условной?

Абсолютная сходимость -- это когда сходится ряд из модулей, условная -- когда ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится. (Наоборот быть не может: если уж ряд из модулей сходится, то сам ряд всегда будет сходящимся). Это все должно быть написано в ваших лекциях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 07:25 


04/04/08
481
Москва
Получается, что любой не знакочередующийся сходящийся ряд сходится абсолютно. Так?
То есть, сходимость не знакочередующегося ряд есть абсолютная сходимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 07:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
rar в сообщении #220557 писал(а):
Получается, что любой не знакочередующийся сходящийся ряд сходится абсолютно.

да

rar в сообщении #220555 писал(а):
А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?

В твоем примере - незачем. Достоточно простого сходится/несходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 09:03 


04/04/08
481
Москва
Зачем тогда в ответе написали: сходится абсолютно?

 Профиль  
                  
 
 Проверьте задачу (теория рядов)
Сообщение08.06.2009, 09:22 


04/04/08
481
Москва
Установить сходимость/расходимость ряда: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3+1}+\frac{1}{3^3+1}+...+\frac{1}{n^3+1}+...$$

Воспользуемся первым признаком сравнения рядов. Для сравнения возьмем ряд $\frac{1}{n^3}$$$ - он сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Так как $$\frac{1}{n^3+1}<\frac{1}{n^3}$$
Отсюда следует сходимость исходного ряда.

Правильно я рассуждал при решении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте задачу (теория рядов)
Сообщение08.06.2009, 09:35 


25/05/09
231
rar в сообщении #220590 писал(а):
Для сравнения возьмем ряд $\frac{1}{n^3}$$$ - он сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Правильно я рассуждал при решении?

Он НЕ геометрическая прогрессия. но сходится - например по интегральному признаку

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте задачу (теория рядов)
Сообщение08.06.2009, 09:45 


04/04/08
481
Москва
Извиняюсь. Ряд обратных кубов. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 09:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
rar в сообщении #220584 писал(а):
Зачем тогда в ответе написали: сходится абсолютно?

А разве это не правда? Разве ряд из модулей расходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение08.06.2009, 10:02 


04/04/08
481
Москва
Да уж.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение28.02.2010, 19:08 
Аватара пользователя


04/06/09
54
Исследовать сходимость ряда:
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{{\ln^{100}n} \sin \frac{n\pi }{4}}{n}}$$

Выделил по признаку Абеля $a_{n}=\frac{\sin \frac{n\pi}{4}}{n}$ и $b_{n}=\ln^{100}n$ . Дальше начал исследовать ряд $a_{n}$ и возникли небольшие проблемы . По какому признаку рационально исследовать ряд $a_{n}$ ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group